Вопрос 8.4. Векторные линии и векторные трубки стационарных векторных полей.

Пусть D есть некоторая область, на которой задано стационарное векторное поле .

Определение 8.6. Векторной линией стационарного векторного поля называется линия, у которой касательный вектор в каждой точке совпадает с векторным полем. Векторную линию так же называют линией тока или силовой линией.

Конец определения.

Из определения следует, что если кривая описывается параметрическими уравнениями

то она является векторной линией стационарного векторного поля, если

Эту же систему можно переписать в эквивалентном виде

Пример 8.2. Найти все векторные линии поля .

Составим систему уравнений, определяющую векторную линию

.

Решим первое уравнение, разделив переменные

.

Аналогично найдем, что . Отсюда следует, что векторные линии представляют собой лучи, выходящие из начала системы координат.

Конец примера.

Итак, векторные линии определяют направление векторного поля в каждой точке области D. Чтобы судить по векторным линиям о величине поля, условились, чтобы число векторных линий в пределах площадки единичной площади и перпендикулярной этим линиям было пропорционально модулю векторного поля на этой площадке.

Определение 8.7. Стационарное векторное поле называется гладким, если все его компоненты имеют непрерывные частные производные по переменным x, y, и z.

Конец определения.

Для стационарного гладкого поля можно доказать следующие теоремы:

Теорема 8.1. Через каждую точку области D, на которой определено стационарное гладкое векторное поле, проходит только одна векторная линия. Другими словами, векторные линии не пересекаются.

Теорема 8.2. Векторная линия гладкого стационарного векторного поля может быть или точкой, или замкнутой кривой, или незамкнутой кривой.

Из последней теоремы следует, что если векторная линия сама себя пересекает, то она является замкнутой кривой.

Определение 8.8. Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями, проходящими через замкнутую кривую, так что последняя не касается ни одной из этих векторных линий.

Конец определения.

На рис.2 представлены векторные линии и векторная трубка некоторого векторного поля.

Рис.8.2. Векторные линии и векторная трубка стационарного векторного поля.

Лекция № 9. Теория поля.

Вопрос 9.1. Градиент скалярного поля.

Пусть в некоторой точке области D задано скалярное поле . Мы знаем, что точку области D можно рассматривать как радиус-вектор в некоторой системе координат. Этот вектор будем обозначать . Тогда через будем обозначать приращение этого вектора, а через будем обозначать приращение скалярного поля.

Определение 9.1. Скалярное поле называется дифференцируемым, если его полное приращение можно представить в виде

где ‑ векторное поле, независящее от ,  ‑ бесконечно малая функция от длины приращения.

Конец определения.

Определение 9.2. Векторное поле называется градиентом скалярного поля и обозначается .

Конец определения.

Теорема 9.1. Пусть в области D введена декартова система координат, тогда

.

Доказательство. Так как (это следует из определения дифференцируемой функции ), то координаты градиента равны , что и доказывает формулу.

Конец доказательства.

Теорема 9.2. Производная по направлению вектора единичной длины и градиент скалярного поля связаны соотношением

.

Эта теорема была доказана во втором семестре в разделе функций нескольких переменных. Из нее следует, что производная по направлению (то есть скорость возрастания поля) максимальна в направлении градиента поля.

Теорема 9.3. Градиент скалярного поля перпендикулярен поверхности равного уровня в данной точке.

Эта теорема доказывается несложно, доказательство ее мы опускаем. Из этой теоремы следует, что векторные линии градиента скалярного поля перпендикулярны поверхностям равного уровня.