Вопрос 18.2. Интеграл Фурье в комплексной форме.
Интеграл Фурье, так же как и ряд Фурье можно представить в комплексной форме. Для этого воспользуемся формулами Эйлера
.
и подставим их в интеграл Фурье
.
Пусть
,
,
тогда
Выведем
теперь формулу для
,
подставив значения
и
Отсюда
видно, что обе формулы переходят друг
в друга при замене
и, следовательно, эти формулы справедливы
для всех значений
.
Таким образом, получаем выражение для
обратного преобразования Фурье:
.
Рассмотрим операцию свертки двух функций для преобразования Фурье
.
Можно доказать следующие свойства свертки (некоторые из этих доказательств просты)
1. Если и абсолютно интегрируемы на вещественной оси, то их свертка существует.
2.
Свертка коммутативна
.
3. Свертка линейна по каждому множителю
4.
Произведению
соответствует свертка
,
то есть
.
Отметим, что свойства свертки для преобразования Фурье и для преобразования Лапласа совпадают, так как между этими преобразованиями имеется тесная связь.
Список литературы
Основная литература:
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т.2. ‑ М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 544 с.
Шипачев В.С., Высшая математика. Учеб. для вузов. ‑ 7-е изд., стер. - М.: Высшая школа. 2005. – 479 с.
Шипачев В.С. Курс высшей математики: Учеб. для вузов. ‑ 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Проспект, 2005. ‑ 600 с.
Владимирский Б.К., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс. – СПб.: Издательство Лань, 2002. – 960 с.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: В 3-х т.; Учеб. для вузов инж.-техн. спец. Т. 3 : Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. ‑ 6-е изд., стер. ‑ М.: Дрофа, 2004. ‑ 511 с.
Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Векторный анализ./ Под ред. А.А. Шестакова. - М.: Высш. шк., 1987. – 320 с.
Мантуров О.В. Курс высшей математики: Ряды. Уравнения математической физикию. Теория функций комплексной переменной. Численные методы. Теория вероятностей. - М.: Высш. шк., 1991. – 448 с.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.2: Учеб. пособие для втузов.-5-е изд., испр.- М.:Высшая школа, 1997. – 416 с.
Сборник задач по математике для ВТУЗов. т.2. Специальные разделы математического анализа / ред., А.В.Ефимов, Б.П.Демидович. - М.: Наука, 1981. ‑ 367 с
Сборник задач по математике для втузов: В 4 частях Ч. 2: Учеб. пособие для втузов /А.В. Ефимов, Ф.Ф. Каракулин, С.М. Коган, А.С. Поспелов, Р.Я. Шостак. Под ред. А.В.Ефимова, А.С.Поспелова . ‑ 4-е изд. перераб. и доп. ‑ М.: Физ.-матем. лит., 2003. ‑ 432 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для инж.-техн.спец.вузов / - 3-е изд., доп. - Ростов н/Д: Феникс, 1997. - 351с.
Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов. ‑ 4-е изд., стер. ‑ М.: Высш. школа, 2004. ‑ 304с.
Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: Математический практикум для экономистов и инженеров: Учебное пособие. -М.: Финансы и статистика, 1999. – 656 с.
Дополнительная литература:
Никольский С. М. Курс математического анализа: Учеб. для физ. и мех.-мат. спец. вузов. Т.1. – 4‑е изд., перераб. и доп. ‑ М.: Наука, 1990. – 528 с.
Никольский С. М. Курс математического анализа: Учеб. для физ. и мех.-мат. спец. вузов. Т.2. ‑ 4-е изд., перераб. и доп. ‑ М.: Наука, 1991. – 543 с.
Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Математический анализ. - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1984. ‑ 448 с.
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. 4-е издание - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, Ч.2, 1982. ‑ 448 с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х томах. Т.2. – СПб.: Издательство «Лань», 2001. – 464 с.
Криволинейные и кратные интегралы. Методические указания по организации самостоятельной работы и выполнению типового расчета для студентов очной формы обучения. /Сост.: С.Н. Горшкова, И.И. Петрушина – Краснодар, изд. КПИ, 1991. – 44 с.
Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. Методические указания по выполнению индивидуальных заданий для студентов второго курса всех форм обучения и всех специальностей /Краснодар. политехн. ин-т. Сост.: А.В. Братчиков, Н.П. Куликов, Л.Г. Роганская ‑ Краснодар, 1991. – 29 с.
Высшая математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений /Арутюнов Ю.С., Полозков А.П., Полозков Д.П. ‑ М.: Высш. школа, 1985. – 144 с.