Лекция №12. Числовые ряды.
Вопрос 12.1. Интегральный признак сходимости.
Теорема
12.1. Пусть
на промежутке
задана монотонно невозрастающая функция
,
интегрируемая на любом отрезке
.
Тогда ряд
сходится или расходится, если
соответственно сходится или расходится
интеграл
.
Доказательство.
Напомним, что значение несобственного
интеграла определяется величиной
предела
.
Для сходящихся интегралов предел
конечен, для расходящихся он либо не
существует, либо равен бесконечности.
Пусть
,
тогда
и интегрируя по отрезку
,
получим
,
или
.
Отсюда в силу произвольности n получим
,
.
Складывая эти неравенства, получим
,
или
.
Переходя теперь к пределу при , получим, что если сходится интеграл, то
.
Если теперь сходится ряд, то
.
Отсюда следует, что ряд или интеграл сходится или расходится одновременно.
Конец доказательства.
Пример
12.1. Обобщенный
гармонический ряд
.
Составим
несобственный интеграл
.
Если
,
то
‑ интеграл расходится. Таким образом,
получаем, что при значении
обобщенный гармонический ряд сходится,
а при значении
,
ряд расходится.
Конец примера.
Пример
12.2.
.
Составим
интеграл
,
то есть интеграл расходится, а значит,
расходится и ряд.
Конец примера.
Вопрос 12.2. Абсолютно и неабсолютно сходящиеся ряды. Безусловная и условная сходимость. Теорема Римана.
Определение
12.1. Ряд
называется сходящимся абсолютно, если
сходится ряд
,
в противном случае ряд называется
неабслютно сходящимся.
Конец определения.
Пример
12.3. Ряд
‑ сходится абсолютно, так как сходится
ряд
(см. лекцию № 11).
Конец примера.
Определение 12.2. Ряд называется безусловно сходящимся, если он сходится и его сумма не меняется при любой перестановке бесконечного числа его членов.
Конец определения.
Определение 12.3. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, и его сумма меняется или его сходимость нарушается при перестановке бесконечного числа его членов.
Риманом было установлено, что абсолютная сходимость эквивалентна безусловной, а условная сходимость эквивалентна неабсолютной.
Теорема 12.2 (теорема Римана). Если ряд сходится абсолютно, то любая перестановка бесконечного числа его членов не меняет его суммы. Если ряд сходится неабсолютно, то можно так переставить бесконечное число его членов, что он или будет расходиться или будет сходиться к любому наперед заданному числу.
Конец теоремы.
Теорема приводится без доказательства. Абсолютно сходящиеся рады можно исследовать на сходимость, используя признаки сходимости для знакопостояных рядов к ряду .
Пример
12.4. Исследовать
на сходимость ряд
.
Применим признак Даламбера
Следовательно, ряд сходится абсолютно.
Конец примера.
Вопрос 12.3. Признак сходимости Лейбница.
Рассмотрим простой признак сходимости, который часто позволяет установить условную сходимость ряда.
Теорема
12.3 (признак Лейбница).
Пусть дан знакочередующийся ряд
и пусть для него выполнены два условия:
1) члены ряда по абсолютной величине невозрастают
,
2) n-й член ряда стремиться к нулю .
Тогда исходный ряд сходится, хотя возможно и неабсолютно.
Доказательство. Рассмотрим нечетные частичные суммы
Таким
образом, все нечетные суммы ограничены
снизу числом
и убывают. Тогда существует предел
.
Аналогично доказывается, что четные
частичные суммы
монотонно возрастают и ограничены
сверху числом S.
Тогда существует предел
.
Из
и условия 2) следует, что
,
то есть
,
и ряд сходится к сумме S,
причем
.
Конец доказательства.
Пример
12.5. Ряд
‑ этот ряд сходится условно, так как
ряд из абсолютных величин
расходится как гармонический ряд,
сходимость же самого ряда следует из
признака Лейбница, так как для его
членов выполнены условия
и
.
Конец примера.
Следствие 12.1. Из
доказательства признака Лейбница
следует, что если знакочередующийся
ряд сходится и
частичная сумма, S
его сумма, то
.
Это неравенство часто используют для
оценки суммы знакочередующего ряда.
Пример
12.6. Ряд
‑ этот ряд сходится абсолютно, так
как ряд из абсолютных величин
сходится как обобщенный гармонический
ряд с
,
сходимость же самого ряда следует из
признака Лейбница, так как для его
членов выполнены условия
и
.
Конец примера.