Вопрос 7.2. Поверхностный интеграл первого рода.

Пусть на гладкой ориентируемой поверхности S задана функция точки M поверхности. Разобьем поверхность кусочно-гладкими кривыми на части площади и возьмем на каждой части произвольным образом точку (см. рис. 2). Введем определение

Определение 7.8. Интегральной суммой поверхностного интеграла первого рода от функции по поверхности S называется сумма

Конец определения.

Рис. 2. К определению поверхностного интеграла I-го рода.

Определение 7.9. Поверхностным интегралом I-го рода называется предел интегральных сумм

где d ‑ диаметр разбиения, т.е. максимальное расстояние между точками поверхности, при условии, что величина предела не зависит от способа разбиения поверхности на части и выбора промежуточных точек.

Конец определения.

Будем обозначать поверхностный интеграл первого рода через

Перечислим свойства поверхностного интеграла I-го рода:

1) Если функция непрерывна на гладкой ориентируемой поверхности S, то существует поверхностный интеграл I-рода от функции по поверхности S.

2) Поверхностный интеграл первого рода не зависит от выбора ориентации поверхности, то есть от выбора стороны поверхности. Это свойство следует из независимости интегральных сумм для поверхностных интегралов первого рода от выбора стороны поверхности.

3) Поверхностный интеграл первого рода линеен, то есть

Как и для любых других типов интегралов, это следствие линейности предельного перехода и линейности интегральных сумм

4) Условие нормировки , где  ‑ площадь поверхности S.

Это свойство следует из определения площади поверхности (см. лекцию № 2, вопрос 2.2).

5) (Неотрицательность поверхностного интеграла) Если , то

Это свойство поверхностного интеграла следует из неотрицательности интегральных сумм и из свойства неотрицательности предельного перехода.

6) (Аддитивность поверхностного интеграла I-го рода). Если гладкая ориентируемая поверхность S разбита на две части и кусочно-гладкой кривой, то

Замечание 7.1. Если S кусочно-гладкая поверхность, состоящая из гладких ориентируемых кусков , то естественно определить поверхностный интеграл первого рода формулой

Можно доказать, что все указанные выше свойства переносятся на поверхностные интегралы по таким поверхностям.

Конец замечания.

Вопрос 7.3. Вычисление поверхностного интеграла 1-го через двойной интеграл.

Пусть поверхность S есть график функции , определенной на множестве D координатной плоскости X,Y. Пусть функция непрерывно дифференцируема на D. Тогда поверхность S гладкая и ориентируемая. Если на этой поверхности задана непрерывная функция , то существует поверхностный интеграл I-го рода