Вопрос 9.2. Дивергенция векторного поля.

Пусть в области D задано некоторое гладкое векторное поле . Окружим некоторую точку M области D кусочно-гладкой замкнутой поверхностью S. Пусть она ограничивает объем V.

Определение 9.3. Средней плотностью источника называется отношение потока векторного поля через поверхность S в направлении внешней нормали к объему V

.

Конец определения.

Определение 9.4. Пусть l - линейный размер, то есть максимальное расстояние между точками поверхности S из определения 9.3. Дивергенцией векторного поля в точке M называется предел средней мощности при стремлении , если он не зависит от выбора S

.

Конец определения.

Таким образом, дивергенция поля характеризует плотность источников поля в точке области. Если , то точка M называется истоком или источником поля, если , то точка M называется стоком. Если всюду в области D , , то в области D нет ни источников, ни стоков векторного поля.

Теорема 9.4. Если - гладкое векторное поле, то оно имеет дивергенцию в каждой внутренней точке области D, причем

.

Доказательство. Пусть точка M окружена поверхностью прямоугольного параллелепипеда с центром в этой точке. Пусть длины его ребер равны (см. рис. 1), тогда полный поток можно представить в виде

,

где - потоки через грани, перпендикулярные координатным осям x, y и z соответственно. Рассмотрим подробно поток через правую и левую боковые грани, перпендикулярные оси x. На правой и левой грани нормаль постоянна и имеет соответственно координаты и . Поток можно представить как сумму

Аналогично найдем, что

и .

Рис 9.1. К выводу формулы для дивергенции .

Тогда для средней плотности источника получим

,

или переходя к пределу при получим

.

Конец доказательства.

Таким образом, соленоидальное векторное поле на области D не содержит источников или стоков.

Вопрос 9.3. Формула Гаусса-Остроградского.

Лемма 9.1. Пусть кусочно-гладкая замкнутая и ориентируемая поверхность S без самопересечений ограничивает некоторую область D. Пусть область D разбита на две части кусочно-гладкой поверхностью P (см. рис. 2). Тогда поверхность S разбивается на две кусочно-гладкие замкнутые и ориентируемые поверхности и . Поток векторного поля через внешнюю сторону поверхности S равен сумме потоков через внешние стороны поверхностей и .

Доказательство. Введем обозначения (см. рис. 2): - первая часть поверхности S; - вторая часть поверхности S; P -поверхность сечения. Так как и то потоки через эти поверхности равны

Рис. 2. К доказательству леммы 9.1.

Так как на поверхности P ,то два последних интеграла в правых частях равны между собой, имеют разные знаки. Поэтому, складывая почленно эти равенства, найдем

.

Так как , то полный поток через поверхность есть

Конец доказательства.

Теорема 9.5 (Гаусса-Остроградского). Пусть некоторая область пространства D ограничена замкнутой ориентируемой кусочно-гладкой поверхностью S без самопересечений и пусть на области D задано гладкое векторное поле . Тогда поток векторного поля через внешнюю сторону поверхности S равен тройному интегралу по области D от дивергенции поля, т.е.

.

Доказательство. Если ‑ гладкое векторное поле, то есть непрерывное скалярное поле. Поэтому, из определения дивергенции в точке M следует

,

где ‑ бесконечно малая функция линейного размера области D, V ‑ объем области, S ‑ кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая область D. Интегрируя по D левую и правую части этого равенства, получим

.

Разобьем область D кусочно-гладкими поверхностями на n частей . Обозначим границу i-ой части через , ее объем ‑ . Диаметром разбиения назовем наибольший линейный размер части разбиения. Тогда по свойству аддитивности для тройного интеграла получим

.

Или применяя выше полученную формулу, найдем

.

Из леммы 9.1 следует, что .

Далее, если d ‑ диаметр разбиения, то , поэтому

.

Переходя к пределу при d®0, получим доказываемую формулу.

Конец доказательства.