Вопрос 10.3. Интегральные теоремы, содержащие градиент.

Приведем две теоремы, содержащие градиент.

Теорема 10.4. Пусть Г некоторая кусочно-гладкая кривая в области D, начало и конец которой находятся в точках A и B соответственно, и непрерывно дифференцируемое скалярное поле, тогда криволинейный интеграл 2-го рода от градиента поля равен разности значений потенциального поля в этих точках, то есть

.

Теорема 10.5. Пусть область D имеет замкнутую ориентируемую кусочно-гладкую границу без самопересечений S и пусть в этой области задано непрерывно дифференцируемое скалярное поле , тогда

Доказательство. Пусть , тогда применяя формулу Гаусса-Остроградского, получим с учетом , что

,

Аналогично получим

Умножая эти равенства на вектора и, складывая, получим

Далее, так как

то тем самым теорема доказана.

Конец доказательства.

Вопрос 10.4. Классификация векторных полей.

Векторные поля разделяются на соленоидальные и потенциальные. Введем их определения:

Определение 10.2. Векторное поле называется соленоидальным в области D, если в любой точке M этой области.

Конец определения.

Определение 10.3. Векторное поле называется потенциальным в области D, если в любой точке M этой области.

Конец определения.

Определение 10.4. Векторное поле называется гармоническим, если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным.

Конец определения.

Если векторное поле соленоидально, то

- поток векторного поля через внешнюю сторону любой замкнутой поверхности равен 0 (следствие формулы Гаусса - Остроградского);

- в области существования поля нет источников или стоков;

- векторные линии стационарного поля или замкнуты или незамкнуты, в последнем случае они начинаются и кончаются на границе области или приходят и уходят в бесконечность;

- поток стационарного поля через сечение векторной трубки постоянен в пределах трубки (следствие формулы Гаусса -Остроградского);

- если поле порождено векторным потенциалом , то , поэтому такое поле соленоидально.

Для потенциального поля справедливы следующие свойства:

- циркуляция поля по любому замкнутому контуру равна 0 (следствие формулы Стокса);

- векторные линии незамкнуты;

- криволинейный интеграл 2-го рода не зависит от пути интегрирования, а есть только функция начальной и конечной точки

;

- существует скалярное поле , называемое потенциалом, такое, что . Последнее нетрудно доказать, если заметить, что если , то , где A - фиксированная точка.

Для гармонического поля справедливы свойства соленоидальных и потенциальных полей одновременно. В частности векторные линии начинаются и кончаются только на границе поля. Поле не содержит источников и стоков, а потенциал поля удовлетворяет уравнению Лапласа

В заключение отметим следующую теорему

Теорема 10.7. Любое гладкое векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального поля.