Уравнение плоскости в нормальном виде
z ,
.
M0
. M
(
,
.
o
y
+
,
x
,
,y,
z}
(
,
, но (
=
=прN
= p
,
подставим в скалярное произведение и
перейдём к координатам
→нормальное уравнение плоскости , где
величина р равна ортогональной
проекции радиуса вектора фиксированной
точки плоскости на единичный вектор
нормали.
Расстояние от точки до плоскости
Задача.
Найти расстояние от точки
до плоскости Q: Ax+By+Cz+D=0.
. (x1 ,y1 ,z1)
d
Q
Решение. Воспользуемся формулой , которую применим без доказательства:
→формула расстояния от точки до
плоскости.
Пример.
Найти расстояние от точки
до плоскости 3x+4y+5z+3=0.
Решение.
d =
=
. Ответ. d =
44
Прямая в пространстве
Линию в
пространстве рассматривают , как
множество всех точек , принадлежащих
двум пересекающимся поверхностям
и
Например:
при пересечении сферы и плоскости
получаем
окружность. Прямую линию получим при пересечении двух плоскостей.
Общее уравнение прямой в
Это уравнение , заданное пересечением двух плоскостей :
→общее уравнение прямой.
Пример.
Построить прямую
Решение. Чтобы построить прямую, надо задать две точки, для этого найдём точки пересечения прямой с координатными плоскостями.
1). Z
=0,
решаем эту систему, находим точку
пересечения
.
2) . X
= 0 ,
Определение. Точка пересечения прямой с координатной плоскостью называется следом прямой.
Z .М2
o .М1 y
x
Векторное уравнение прямой . Параметрические
уравнения прямой. Канонические уравнения
П
усть
прямая L задана точкой
(
и направляющим вектором
.
M1
s
;
, поэтому
,
где t – скалярный параметр
o y
,
,
из рисунка видим
x
→векторное уравнение
45 прямой.
;
; t
, в координатах векторное уравнение
запишется так:
→ параметрические уравнения прямой.
Вектор
=
{ x -
в координатах
→
канонические уравнения прямой
Пример.
Привести уравнение прямой к
каноническому виду
Р ешение
;
,
=
.M1
=
= 3
. Чтобы найти точку на прямой, в общем
уравнении положим z=0 ,
, решив эту систему , получим
и запишем каноническое уравнение
.
Ответ.
.
Уравнение прямой , проходящей через две точки
;
М2
;
;
║
в координатах
y
→ уравнение
x прямой ,проходящей через 2-е точки
Пример1.
Найти уравнение
прямой , проходящей через точку
, параллельно прямой
.
Решение.
Уравнение прямой будем искать в
каноническом виде :
. Направляющий вектор
можно принять, как векторное произве-
46
дение
нормальных векторов плоскостей , задающих
прямую, то есть
=
23
+ 13
- 17
Подставим в уравнение . Ответ.
Пример 2.
Найти уравнение прямой , проходящей
через точку
, перпендикулярно прямым L1
:
и L2 :
L1 L2
Решение.
Запишем канонические уравнения
прямой
.
Направляющий вектор прямой
одновременно перпендикулярен и
направляющему вектору
и
, поэтому
=
=-
2
. Ответ.
Лекция 12. Взаимное расположение прямой и плоскости в
Полярная система координат
Взаимное расположение 2-х прямых
1). Прямые
заданы каноническими уравнениями
:
=
;
=
.
2).
Условие параллельности
3). Условие
перпендикулярности
Взаимное расположение прямой и плоскости
1). Угол между прямой и плоскостью.
Прямая задана уравнением L : , а плоскость : Ax+By+Cz+D=0
47
L
2
).
Условие параллельности.
3
).
Условие перпендикулярности.
4). Точка пересечения прямой и плоскости.
Пример.
Найти точку пересечения прямой
=
и плоскости
X+2y+3z-29 = 0.
Решение.
Уравнение прямой запишем в параметрическом
виде
.
Эти значения неизвестных подставим в уравнение плоскости : 2t + 2t+ 2+6t-3- -29=0 10t – 30 =0 t = 3. Значение параметра t=3 подставим в параметрические уравнения прямой , получим x = 6, y = 4, z = 5.
Ответ. X=6, y=4, z=5.
5). Условия принадлежности прямой плоскости
Ax+By+Cz+D=0 .
.M1
Точка
принадлежит плоскости ,а вектор
перпендикулярен вектору
, поэтому
6). Условия
принадлежности 2-х прямых
одной
плоскости. Воспользуемся условием
принадлежности трёх векторов одной
плоскости.
.M1
.
.M2
48
Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве
1). Уравнение прямой , проходящей через данную точку и перпендикулярно данной плоскости Ax + By +Cz + D = 0.
Ответ.
2). Уравнение
плоскости , проходящей через данную
точку
и параллельно заданной плоскости
x
+
y
+
z
+
= 0.
Ответ.
3). Уравнение
плоскости , проходящей через заданную
точку
и перпендикулярно прямой
Ответ.
m
.
4). Уравнение
плоскости, проходящей через данную
прямую
и через заданную, не лежащую на прямой
точку
Ответ.
А
.
А , В , С
находим из условий:
Полярная система координат
Полярная система координат состоит из начала точки О , называемой полюсом и лучом ОМ , соединяющем полюс с произвольной точкой М плоскости .
- полярный радиус – вектор
точки, угол
, образованный лучом ОМ и полярной осью
- полярный угол точки. (рис.1). Угол
считается положительным при отсчёте
от полярной оси против часовой стрелки.
Если точка М имеет полярные координаты
и
то ей же отвечает и бесчисленное множество
пар полярных координат (
и [-
. M y
y .M
(
o
o x
x=
рис. 1 рис.2
Если начало декартовой прямоугольной системы координат совместить с
49
полюсом , а
ось Оx направить по полярной
оси (рис.2) , то прямоугольные координаты
x и y точки
М и её полярные координаты
следующими формулами :
(1)
,
,
. (2)
П
ример1.
Построить точки в полярной системе
координат (п.с.к.):
,
,
.
Р
ешение.
0
. M3
. М1 OM3=9
ОМ1 =2 .М2
ОМ2 =-2
0 0
Пример 2. Записать уравнение линии в декартовой системе координат (д.с.к.):
Решение.
Из формулы (1) находим
=
, подставляем в уравнение кривой , а
также из формулы (2) подставляем
,
получаем
= 8
.
Возведём в квадрат обе части последнего равенства и приходим к уравнению
(
=
64
.
Пример 3.
Записать уравнение линии в п. с. к. (
= 4 (
Решение. Из формул (1) вместо x и y подставляем значения , получим
Пример 4.
В полярной системе координат построить
кривую
спираль
Архимеда, приняв
.
0
Домашнее задание.
Построить линии в полярной системе координат
1). спираль Архимеда.
2).
- гиперболическая спираль.
3).
- логарифмическая спираль.4).
лемниската Бернулли.
50
5).
- четырёхлепестковые розы.
6).
- трёхлепестковые розы.
7).
кардиоида.
8).
кардиоида.
Лекция 13. Кривые второго порядка
Определение.
Кривой второго порядка называется линия
, определяемая уравнением второй степени
A
1). Окружность – геометрическое место точек равноудалённых от одной точки , называемой центром.
Каноническое
уравнение окружности (
C(
b )-центр окружности , r
– радиус окружности
Пример.
Привести уравнение окружности
к каноническому виду.
Решение.
Выделяем полные квадраты при переменных
и
(
(
Ответ. ( , C (1,-2) r = 4.
2). Эллипс.
Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости , сумма расстояний каждой из которых от 2-х данных точек этой плоскости , называемых фокусами , есть величина постоянная ( при условии , что эта величина больше расстояния между фокусами).
y
.М(x,y)
М
; M
;
;
r1
r2
M
; M
F1
0 F2
x M
.
M
+
= 2
F1 (-c,0) ; F2 (c;0). После освобождения от корней и , про-
ведя некоторые преобразования , получим каноническое уравнение эллипса
, где
y
B
Точки пересечения с осями: x
= 0 ,y
,
y = 0,
x
=
. A
большая ось. B
малая ось.
A
a . 0 A1
x Определение.
Отношение
экс -
В В1 51