Дифференцируемость функции
Определение.
Если функция y= f(x)
в точке x = x0
,имеет производную , то есть существует
то
функция называется дифференцируемой
при x = x0
.
Теорема. Если функция y= f(x) – дифференцируема в точке x0 , то она в этой точке непрерывна .
Доказательство.
Так как функция дифференцируема , то
, а по теореме (
это значит
,
где
б.м.функция , отсюда
,
это
условие непрерывности функции ч.т.д..
З амечание. Обратное утверждение неверно.
Y
x0
0 x
Из рисунка
видно , что в точке x0
функция непрерывна , а касательная ,
проведённая к графику функции в этой
точке параллельна оси ox
, то есть tg
Основные правила дифференцирования
1. [ c
,
c=const.
2.
[u(x)
3.
[u(x)
.
4.
.
80
Теорема о сложной функции
П
и u =
-
непрерывна , тогда функция y
= f [
- сложная функция .
Теорема.
Если u =
имеет производную u’(x)
в точке x ,а y
= f(u) → y’(u)
в точке u , то y
=f[
в данной точке x имеет
производную y’x
, которая находится по формуле:
Доказательство.
Дадим x приращение
, y
. Составим очевидное тождество
, перейдём к пределу
=
=
, поэтому
=
= y’u
x
ч.т.д. .
Лекция 22. Производные некоторых элементарных функций.
1. y = c – const. y
y=c
0 x0 x0+ x
Из рисунка
видно , что
y
= 0 , значит
2
.
y =
- показательная функция ,
>
0 ;
; (
=
, воспользуемся формулой
, получим
.
, если
,то
4. y
=
– логарифмическая функция.
).
(
, то есть
81
, если , то
Из школы известно:
5. y
= sinx ;
; 6. y = cos
x ;
7. y
=
- степенная функция. n-
любое действительное число.
8.
y = tg x ;
9.
y = ctg x ;
Производная обратной функции
Пусть y
= f(x) и x
=
- 2 непрерывные взаимно обратные функции.
Пусть известно f ’(x)
=
Чтобы найти
,
надо найти
т.к. при
функции непрерывны , то
,
окончательно
=
или
Примеры.
1. y
=
, обратная функция x = sin
y в (
;
=
.
2. Аналогично
,
;
;
Производные гиперболических функций
Определение. Гиперболическим синусом sh x , гиперболическим косинусом сh x , гиперболическим th x , cth x называются функции вида :
82
Sh
x =
; ch x =
; th x =
; cth =
Справедливы
соотношения : c
th x=
; cthx =
.
Y
y
y=chx
y=cthx
1 1
Y=thx
0 x 0 x
Y=shx
-1
График функции y = ch x называется цепной линией.
(
sh x)’ = ch x ; (ch x)’ = sh x ; (th x)’ =
; ( cth x)’ = -
.
Доказать самим.
Таблица основных формул дифференцирования
для сложной функции y’x
=y’u
.
U = u(x)
1. (С)’ = 0.
11. (
.
2. (
12. (
3.
(
.
13. (arcsin u)’ =
4.
(
14. (arccos u)’ =
-
.
5.
(
15. (arctg u)’ =
.
6.
(
. 16.
(arcctg u)’ = -
.
7.
(sin u)’ = cos u
17. (sh u)’ = ch u
.
8. (cos u)’ = - sin u 18 . (ch u)’ = sh u .
9.
(tg u)’ =
. 19. ( th u)’
=
.
10.
(ctg u)’ =-
. 20.
(cth u)’
= -
.
Примеры.
1. Найти y’ , если y = sin x3.
Решение.
Воспользуемся формулой 7 из таблицы :
( sin x3
)’ = cos x3
=
=
cos x3
. Ответ:
( sin x3
)’ = cos x3
.
83
2. Найти y’
, если y =
.
Решение.
Воспользуемся формулой 6 из таблицы:
(
)’
=
=
Ответ:
(
)’
=
Лекция 23. Неявные функции и их дифференцирование. Производные высших порядков.
Неявные функции и их дифференцирование
Определение. Функция y , заданная уравнением F ( x,y) = 0 называется неявной , то есть неявная функция задаётся уравнением , связывающим независимую переменную x с функцией y , неразрешённым относительно y.
Правило. Чтобы найти производную от неявной функции , нужно дифференцировать по x обе части уравнения с учётом , что y зависит от x по правилам дифференцирования сложной функции.
Пример.
Найти y’ , если функция
y задана уравнением: xy2
=
.
Р
ешение.
( xy2 )’=(
.
y2 + 2xyy’
=
y2 + 2xyy’
=
; сгруппируем члены , содержащие y’
, получим y’(2xy
-
, отсюда y’ =
Дифференцирование сложно - показательной функции
Определение. Сложно – показательной функцией называется функция , у которой и основание и показатель степени являются функциями от x , например:
(sin
x
;
;
; (
Обозначается y = [u(x)
=
.
Теорема.
Если y =
,
то
.
Доказательство.
Прологарифмируем функцию y,
затем дифференцируем последнее равенство
по правилу дифференцирования неявной
функции (
→
из этого равенства выразим y’.
Y’
= y [ v’
ч.т.д.
Пример1.
Найти y’ , если y
= (sin x
Логарифмируем
обе части равенства
, дифференцируем
= 2x
+
y’ = y [2x
]
84
Ответ.
Y’ = (sin
x
2x
].
Пример 2. Найти y’ , если y =
Решение.
Сначала найдём логарифм данной функции
,
дифференцируем обе части, получим
y’ = y[
]
Ответ. Y’ = [ ].
Приём для
нахождения производной с применением
логарифмирования называется логарифмическим
дифференцированием , а выражение
- логарифмической производной.
Производные высших порядков
Так как f’(x) есть функция , то её можно снова дифференцировать.
Определение. Производная от 1-ой производной функции называется производной 2-го порядка .
Определение. Производной n-го порядка функции y = f(x) называется первая производная от производной (n-1) – го порядка. Обозначается: y(n) , f(n) ,
F(n)(x) = [ f(n-1)(x)]’.
Пример.
Найти производную
- четвёртого порядка для функции y
=
.
Решение. Сначала найдём y’.
Y
’
=
, y’’ = (
=-
; y’’’ = ( -
=
=
;
y’’’’ =(
.
Ответ.
Производная второго порядка от неявных функций
Рассмотрим на примере.
Пример. Найти производную второго порядка от функции y , заданной неявно
x
=
Решение.
Дифференцируем обе части равенства ,
предполагая , что y сложно
зависит от x. 1 =
, выражаем отсюда y’ ,
y’=
ещё раз дифференцируем y’’
=
=
=
=
=
.
85
Другой способ . Первый раз дифференцируем уравнение , задающее функцию,
п
олучаем
1 =
, снова дифференцируем это равенство ,
0 =
, отсюда выражаем y’’.
Y’’ = - (1+y’
, подставляем значение для y’
, y’’ = - (1 +
= - (
= -
Механический смысл производной второго порядка
Пусть s = f(t) – путь , пройденный материальной точкой за время t , v = v(t) – скорость за это время , точке t + соответствует скорость v1(t+ ,
, ускорение
Определение.
Ускорением за время t
называется предел среднего ускорения
при
Вывод. Ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.
Производные функций , заданных параметрически
Пусть
,
а
имеют производные , причём t
=
, тогда y=
сложная функция , поэтому y’x
=
t
x
, на основании теоремы о дифференцировании
обратной функции запишем
x
=
подставим в y’x
=
t
=
.
.
Чтобы найти
вторую производную , воспользуемся
формулой для первой производной ,
обозначим
,
.
Можно находить вторую производную по другой формуле
Пример. Найти вторую производную от функции y , заданную параметрически
x
= si
; y = sin 2t
Решение.
Найдём сначала y’x
. y’x
=
=
; y’’xx
=
=
=
. Ответ. y’’xx
=
86