Лекция17. Основные теоремы о бесконечно малых функциях и о пределах при X , X x0 , X
65
Теорема 1.
Если
и
две бесконечно малые функции , то и
их
- б.м. функция.
Теорема 2. Произведение б.м. функции на ограниченную является б.м. функцией.
Теорема 3. Произведение 2-х б.м. функций есть функция б.м. ; произведение б.м. функции на число есть функция б.м..
Теорема 4.
Если функция y = f(x)
является б.б. , то функция
есть
б.м. и обратно , если f(x)
б.м. , то
есть б.б. функция.
Теорема 5. Если функция имеет предел на некотором интервале , то она ограничена на нём.
Теорема 6.
(
Если функция y = f(x)
имеет предел , равный А , то её можно
представить , как сумму числа А и некоторой
б.м. функции , то есть
,
то f(x) = A
+
, где
)
– б. м. функция.
Доказательство.
Пусть
,
рассмотрим соотношение f(x)
– A =
,
докажем , что
- б.м. функция . Из определения предела
следует
0)
<
,то есть
<
,
так как
– сколь угодно малое положительное
число , то
и подавно мало и можно считать его б.м.
величиной,ч. т.д..
Теорема 7. (обратная). Если функцию можно представить ,как сумму числа А и некоторой б.м. функции , то число А является пределом функции f(x).
Свойства пределов
1. Если
im
f(x)= A,
im
(x
) = B , то
im{
f(x )
x)}
=
im
f(x)
im
(x
).
2.
Если
im
f(x)= A,
im
(x
) = B , то
im{
f(x)
=
im
f(x)
im
(x
).
3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
im{k (x )} = k im (x ), k – const.
4. Если
im
f(x)= A,
im
(x
) = B , В
, то
.
5.
=
n
6.
с = сonst.
Неопределённые выражения и их раскрытие
Определение.
Выражения вида:
,
Называются неопределёнными под знаком предела и требуют раскрытия.
1.Неопределённость раскрывается , если числитель и знаменатель разложить на простые множители.
66
=
.
2.
раскрывается , если числитель и знаменатель
дроби разделить на наивысшую степень
x.
.
Замечание. Если степени числителя и знаменателя равны , то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях x.
3.(
приводится к неопределённости
.
Пример1.
= (
-
)=
=
=
=
.
Пример 2.
Вычислить
=
=
Один признак существования предела функции
Если даны
функции
удовлетворяющие неравенству на некотором
интервале
имеют один и тот же предел , то и функция
f(x) будет
иметь тот же самый предел.
Доказательство
геометрически: пусть
y
b+
b
f
(x)
b-
0 x
67
Первый классический предел (замечательный)
Теорема.
Функция
имеет предел при x
и он равен единице , то есть
=1.
Доказательство. Рассмотрим окружность
y с r=1, 0 < x < . OA=1
x 0 0 B
B
bb BBBBBBbbB b B
M c
SомА<
Sсег.МОА < S
CОА
S МОА
=
ОА
=
0 A x
Sceкт.МОА
=
=
S CОА
=
, разделим на sinx
1<
, перейдём к пределу , предварительно,
перевернув неравенство
по
признаку существования предела функции
имеем
ч.т.д.
Если x<0,
то
и эта теорема справедлива для любого
x.
Примеры.
Вычислить
Вычислить:
.
Лекция18. Второй классический предел. Сравнение бесконечно
малых функций.
Теорема.Функция
y = ( 1+
имеет предел при
и он равен
2,71828.
Доказательство.
Нарисуем график
функции y=
.
y
tg
=
, если h
то
0
tg
0
,
то есть
.B
,
с другой стороны
450
, таким образом
0 1 .A
hc x
Пусть
, тогда при h
,
и получим
ещё одну
форму этого предела
68
Одно свойство логарифма и предела функции.
Если существует
,
то
Пример 1 .
Пользуясь
вторым классическим пределом, вычислить
:
x+3
.
Р
ешение.
x+3=
x+3=
x+3=
(x+3)
4 (x-1) / 4 (x-1)
=
=
=
Ответ:
Пример 2.
Вычислить :
Сравнение бесконечно малых функций
Сравнить
две бесконечно малые функции
– это значит , найти предел их отношения
при x
0.
Пусть – б.м.функции.
1. Функции
называются б. м. одного и того же порядка
малости , если
= c =const
.
Пример.
Сравнить функции:
= x2-4 и
= x2-5x
+6при x
Р
ешение.
Вывод.
Функции
одного
и того же порядка малости.
2. Функция называется б.м. более высокого порядка малости чем , если = 0.
Пример.
Сравнить функции
=
и
= x при x
.
Р
ешение.
.
Вывод.
Функция
более высокого порядка малости чем
функция
3. Функция называется б.м. более низкого порядка малости чем если
.
4. Функции называются не сравнимыми ,если не существует. 69
П
ример.
Пусть
=
,
,
x
.
Р
ешение.
=
,
не сущуствует.
Вывод. Функции не сравнимы.
5. Две функции
называются эквивалентными или
равносильными , если
=1. Обозначается
Пример.
Вычислить
=
Вывод.
arcsinx
Можно показать , что arctg x .
Составим таблицу эквивалентных функций: при x
Теорема. Предел отношения 2-х б.м. функций равен пределу отношения эквивалентных им функций.
Д
оказательство.
Пусть
. Докажем , что
. Имеем
]=
=
ч.т.д.
1
1
Замечание.Под знаком предела можно заменять функции им эквивалентными.
Примеры.
Вычислить :
1/2x
=
=
=
.
.
Сравнение бесконечно больших функций
Пусть f(x) и б.б.функции.
1. Если
=0 , то f(x)
имеет низший порядок по сравнению с
, запись
или f(x) =
0[
], ноль малый.
2. Если
=
С , то говорят , что отношение
ограничено
и пишут
f(x)
= 0[
ноль большой.
70
Лекция 19. Непрерывность функции. Последовательности
Непрерывность функции
Пусть
функция y= f(x)
определена при некотором значении x0
и y0 = f(x0
). Если x получит приращение
,
то и функция y получит
приращение
, то есть f(x0
+
) = y0 +
приращение
функции.
Определение
1. Функция y= f(x)
называется непрерывной в точке x
= x0 , если она
определена в этой точке и если
, то есть бесконечно малому приращению
аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции.
Пример.
Показать , что функция y
=
непрерывна
в произвольной точке.
Р
ешение.
Область определения этой функции вся
числовая ось. Составим приращение
функции
,
перейдём к пределу
=0
Вывод. Функция y = непрерывна всюду.
Определение
2. Пусть функция y= f(x)
непрерывна в точке x0
, тогда
f(x0
+
или
В последнем
равенстве обозначим x0
+
при
x
. Окончательно, функция f(x)
называется непрерывной в точке x0
, если
1. f(x) – определена в точке x0 и в некоторой её окрестности.
2. f(x) имеет предел при x = x0 , это значит , что она имеет предел слева , справа и они равны между собой , и равны значению функции в точке x =x0 .
Если в какой либо точке x0 одно из условий не выполняется , функция называется разрывной в этой точке , точка x0 называется точкой разрыва.