Формулы крамера

ЗАДАЧА. Решить систему 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными.

Решение. Умножим обе части первого уравнения на , а 2-го на и вычтем из 1-го уравнения 2-е.

+

17

. Числитель этой дроби равен определителю – . Знаменатель равен - , обозначим = , а через , тогда = . Аналогичными действиями можно получить , где . Решение системы запишем в виде :

, . Для системы , состоящей из трёх уравнений с тремя неизвестными эти формулы примут вид:

, это и есть формулы Крамера , где

, , =

. - главный определитель; , , - побочные.

Пример. Решить систему уравнений:

Решение. = = 79 0 .Система совместна. = =395, =-158 , = = 237.

= = 5 ; = ; = . Ответ. .

Из формул Крамера следует :

1). 0 система имеет единственное решение.

2). = 0 , но хотя бы один из 0 , то система не имеет решения.

3). = , то система имеет бесчисленное множество решений или совсем не имеет решения.

18

Линейные однородные системы

Определение. Система m уравнений с n неизвестными вида :

(1)

называется линейной однородной системой.

Следуя формулам Крамера, можно сделать вывод:

1). 0, m=n система имеет единственное нулевое решение.

2). , m n система имеет бесчисленное множество решений и среди этих решений могут быть и ненулевые.

Теорема. Для того , чтобы система (1) имела ненулевое решение необходимо и достаточно , чтобы её определитель = 0.

Доказательство необходимости.

Пусть система (1) имеет ненулевое решение , но

По формулам Крамера имеем:

, = = = , так как есть ненулевое решение, предположим , что это то = , а это возможно только тогда, когда .

Доказательство достаточности.

Пусть = 0 , тогда в формулах Крамера , .

Возьмём r(A) < n и по теореме Кронекера – Капелли система (1) имеет бесчисленное множество решений в том числе и ненулевое.

Вывод. Однородная система уравнений всегда совместна и имеет ненулевое решение только тогда, когда определитель системы равен нулю .

Пример.Решить систему уравнений.

= 0 . →

Ранг матрицы последней системы равен 2-м, а число неизвестных равно 3-м, поэтому , следуя теореме Кронекера – Капелли, 3-2=1 свободное неизвестное . Систему перепишем так: и решаем её по формулам Крамера . Для этого найдём , 2z+18z=20z, =

=-27z-z=-28z. X = = = 5z ; Y = = .

Ответ. X = 5z; Y = -7z, где z любое число.

19

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

ЛЕКЦИЯ 5. Понятие вектора. Основные операции над векторами.

Определение. Пространство , в котором введены декартовы координаты x,y,z, так , что выполняются следующие условия :

1) разным точкам пространства соответствуют разные наборы координат ;

2) каждому набору x,y,z соответствует какая – то точка Р , изучаемого пространства ;

называется 3-х мерным декартовым и обозначается ; – двумерное декартово пространство – плоскость ; - одномерное декартово пространство – прямая. Координаты – (от латинского слова ) упорядоченный , определённый.

Определение. Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок прямой.

Обозначается , А – начало , В – конец вектора или или .

Определение. Вектором называется матрица размерности (n или (1 ; = (n ,

Длина вектора– это его модуль, абсолютная величина,обозначается , .

Определение. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.

Определение. Векторы называются коллинеарными , если они лежат на одной либо на параллельных прямых , их можно всегда представить

Определение. Векторы называются компланарными , если они лежат в одной

плоскости .

Определение. Два вектора называются равными , если

1) коллинеарны ,

2) имеют одинаковое направление ,

3 ) имеют равные длины.

Векторы , изучаемые в геометрии, называются свободными , так как точку приложения выбираем произвольно. Есть ещё скользящие и связные в физике и механике. Скользящие – такие, которые считаются равными , если лежат на одной прямой ( сила ). Связные – если, имеют общее начало и равны.

20

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Определение. Cуммой 2-х векторов называют вектор , идущий из начала первого в конец второго , при условии , что выходит из конца .

Свойства суммы

1) = +

2) ( ) + = ;

3) + = ;

4) существует такой противоположный вектор , что .

Определение. Суммой нескольких векторов называется вектор , который замыкает ломанную линию , составленную из векторов слагаемых .

= + + +

Правило параллелограмма

Если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм , то + сумма этих векторов представляет собой вектор , направленный по диагонали , выходящей из общего начала , а разность - направлена по второй диагонали , причём вектор разности направлен в сторону уменьшаемого.

+

Определение. Произведением вектора на вещественное число называется вектор удовлетворяющий условиям :

1) - коллинеарен вектору ; 2)

21

3 ) векторы и направлены одинаково, если и противоположны , если < 0 , если же =0 , то = 0 .

Cвойства произведения на число

1) ( + ) = ;

2) ( ;

3) =

Пример . Построить вектор =2 .

Р ешение. 3

2

Проекция вектора на ось

Определение. Ортогональной проекцией вектора = на ось называется величина отрезка А’B’ оси. Обозначается : п А’B’

B

A

k

A’ B’

Теорема. Проекция вектора на ось равна длине вектора , умноженной на косинус угла между вектором и осью .

Доказательство теоремы следует из рисунка.

Основные свойства проекций

1) п ;

2) п п ;

3) п п ;

Вывод. Линейные операции над векторами сводятся к точно таким же операциям над их проекциями.

22

Понятие линейной зависимости векторов

Определение. Линейной комбинацией n векторов ….. называют сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа , то есть выражение вида :

, (1)

где - числа.

Определение. Векторы ….. называются линейно зависимыми , если найдутся такие числа , из которых хотя бы одно не равно нулю , что линейная комбинация (1) обращается в ноль = 0.

Определение. Векторы ….. называются линейно независимыми , если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае , когда все = 0.

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 2-х векторов является их коллинеарность.

Доказательство необходимости. Пусть 2 вектора и зависимы , докажем , что они коллинеарны.

По определению линейной зависимости векторов найдутся такие и , что + =0, пусть ,тогда разделим на , получим +

Последнее равенство означает , что векторы коллинеарны ч.т.д.

Доказательство достаточности. Пусть и коллинеарны , то есть или это значит зависимы ,ч.т.д.

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 3-х векторов является их компланарность.

Теорема 3. Любые 4-е вектора в линейно зависимы.