Лекция 24. Дифференциал функции.
Пусть функция y = f (x) дифференцируема на некотором интервале , тогда
Y’
=
по теореме (
о пределе функции , имеем
→ б.м.функция , при
,
, f’(x)
поэтому f’(x)
- б.м. 1-го порядка малости относительно
.
Проверим , какого порядка малости
Найдём
=
,
то есть
более высокого порядка малости , чем
.
1- е слагаемое f’(x)
называется главной частью приращения
функции.
Определение.
Дифференциалом функции называется
главная часть приращения функции ,
линейная относительно
Обозначается
. Если y= f(x)
= x , то y’x
= 1 , а
Вывод.
Дифференциал независимой переменной
равен приращению этой переменной
,
рабочая формула.
Пример .
Найти дифференциал функции y
=
.
Решение.
f’(x) =
, dy =
dx .
Приближённые вычисления с помощью дифференциала функции
Запишем
приращение функции y =
f(x)
, так как последнее слагаемое более
высокого порядка , то его отбросим и
получим
или
F
(x0 +
отсюда
- формула для приближённого вычисления
с помощью дифференциала функции.
Пример. Вычислить sin 460 .
Решение.
Пусть f( x)
= sin x ; f’(x)
= cos x ;
sin(x+
Примем
x0 +
= 460 ; x0 =
, тогда
0
=
Sin460
= sin (
=
.
Ответ.
Sin460
.
Свойства дифференциала функции
Задача
нахождения дифференциала функции
сводится к нахождению производной
функции , так как
, поэтому все свойства производной
распространяются и на дифференциал:
1).
d(u
2).
d(u
87
3). d(
.
Пример 1.
Найти дифференциал функции y
=
.
Решение.
dy =
Пример 2.
Найти дифференциал функции y,
если sin(x+y)
=
.
Решение.
Функция y задана неявно
, найдём сначала y’ .
Дифференцируем обе части равенства
cos(x+y)(1+y’)
=
отсюда выражаем y’ .
Y’
=
=
, dy =
dx.
Инвариантность формы дифференциала функции
Если y = f(u)
, где u =
, y = f[
, то
= f’u
(u)
→ dy = f’u
.
du
Вывод. Форма дифференциала не зависит от того , является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента.
Пример.
Найти дифференциал функции y
= sin
.
Решение.
y = sinu , u =
, dy = cosu
.
Геометрическое значение дифференциала функции
y
M1
T
M N
x
0 x x+
М(x,y)
; M 1(x+
;
NT = MN
tg
NT
= f’(x)
→
Вывод. Дифференциал функции f(x) , соответствующий значениям x и равен приращению ординаты касательной к кривой y = f(x) в данной точке x.
Замечание.
В данном случае
но возможно и
.
88
y N
M2 Т
М1
0
x NT = dy
