2. Наближення експериментальних даних аналітичною залежністю.

Апроксимація (від латинського "approximate" -"приближатися") - наближений вираз яких-небудь математичних об'єктів (наприклад, чисел або функцій) через інших простіші, зручніші в користуванні або просто відоміші. У наукових дослідженнях апроксимація застосовується для опису, аналізу, узагальнення і подальшого використання емпіричних результатів.

Як відомо, між величинами може існувати точний (функціональна) зв'язок, коли одному значенню аргументу відповідає одне певне значення, і менш точний (кореляційна) зв'язок, коли одному конкретному значенню аргументу відповідає наближене значення або деяка безліч значень функції, в тому або іншому ступені близьких один до одного. При веденні наукових досліджень, обробці результатів спостереження або експерименту зазвичай доводитися стикатися з другим варіантом. При вивченні кількісних залежностей різних показників, значення яких визначаються емпірично, як правило, є деяка їх вариабельность. Частково вона задається неоднорідністю самих об'єктів неживої, що вивчаються, і, особливо, живої природи, частково обуславливается погрішністю спостереження і кількісній обробці матеріалів. Останню складову не завжди вдається виключити повністю, можна лише мінімізувати її ретельним вибором адекватного методу дослідження і акуратністю роботи. Тому при виконанні будь-якої науково-дослідної роботи виникає проблема виявлення справжнього характеру залежності показників, що вивчаються, цій або іншому ступеню замаскованих неучтенностью вариабельности значень. Для цього і застосовується апроксимація - наближений опис кореляційної залежності змінних відповідним рівнянням функціональної залежності, що передає основну тенденцію залежності (або її "тренд").

При виборі апроксимації слід виходити з конкретного завдання дослідження. Зазвичай, чим простіше рівняння використовується для апроксимації, тим більше приблизний отримуваний опис залежності. Тому важливо прочитувати, наскільки істотні і чим обумовлені відхилення конкретних значень від отримуваного тренда. При описі залежності емпірично певних значень можна добитися і набагато більшої точності, використовуючи яке-небудь складніше, багатопараметричне рівняння. Проте немає ніякого сенсу прагнути з максиРисьною точністю передати випадкові відхилення величин в конкретних рядах емпіричних даних. Набагато важливіше уловити загальну закономірність, яка в даному випадку найлогічніше і з прийнятною точністю виражається саме двохпараметричним рівнянням степеневої функції. Таким чином, вибираючи метод апроксимації, дослідник завжди йде на компроміс: вирішує, в якому ступені в даному випадку доцільно і доречно "пожертвувати" деталями і, відповідно, наскільки узагальнено слід виразити залежність змінних, що зіставляються.

3. Графічна інтерпретація апроксимації.

З курсу математики відомо 3 способи завдання функціональних залежностей:

• аналітичний

• графічний

• табличний

Табличний спосіб зазвичай виникає в результаті эксперемента.

Недолік табличного задання функції полягає в тому, що знайдуться значення змінних які невизначені таблицею. Для відшукання таких значень визначають ту, що наближається до заданої функцію, званою аппроксмиющою, а дія заміни апроксимацією.

У інженерній діяльності часто виникає необхідність описати у вигляді функціональної залежності зв'язок між величинами, заданими табличний або у вигляді набору точок з координатами (xi,yi), i=0,1,2...n, де n - загальна кількість точок(Рис.3.). Як правило, ці табличні дані отримані експериментально і мають погрішності. При апроксимації бажано отримати відносно просту функціональну залежність (наприклад, поліном), яка дозволила б "згладити" експериментальні погрішності, набути проміжних і екстраполяційних значень функцій, що спочатку не містяться в початковій табличній інформації.

Взагалі апроксимація - це наближення. т. е треба знайти рівняння такої лінії, яка щонайкраще описує залежність у(х). Часто застосовується як критерій близькості отриманої функції до наявних даних сума квадратів відхилень теоретичних значень у від емпіричних (досвідчених), тоді можна застосувати метод найменших квадратів. подивися в пошукачі що це таке і формули для різних ліній сама. розрахунок зводиться до знаходження сум х, у, ху, х

Рис.3.

Ця функціональна (аналітична) залежність повинна з достатньою точністю відповідати початковій табличній залежності. Критерієм точності або достатньо "хорошого" наближення можуть служити декілька умов.

Позначимо через f_і значення, обчислене з функціональної залежності для x=x_і і що зіставляється з y_і.

Одна з умов узгодження можна записати як

S = (f_і-y_і)  min

тобто сума відхилень табличних і функціональних значень для однакових x=x_і має бути мініРисьною (метод середніх). Відхилення можуть мати різні знаки, тому достатня точність у ряді випадків не досягається.

Використання критерію S = |f_і-y_і|  min, також не прийнятно, оскільки абсолютне значення не має похідної в точці мінімуму.

Враховуючи вищевикладене, використовують критерій найменших квадратів, тобто визначають таку функціональну залежність, при якій S = (f_і-y_і)²  min звертається в мінімум.