8.1. Общие сведения

Случайным называется сигнал, мгновенные значения которого изменяются во времени случайным образом. В связи с этим он описывается случайной функ­цией времени X(t), которую можно рассматривать как бесконечную совокупность (ансамбль) функций x_i(t), каждая из которых представляет собой одну из воз­можных реализаций X(t). На рис. 8.1 в качестве примера приведена совокупность реализаций x_i(t), где x_i(t_j)—мгновенное значение сигнала X(t), соответствую­щее значению i-й реализации в j-й момент времени.

Полное описание случайных сигналов может быть произведено с помощью системы вероятностных характеристик. Любая из них определяется либо усред­нением по совокупности реализаций x_i(t), либо усреднением по времени для од­ной реализации X(t). В общем случае результаты таких усреднений неодинако­вы, они могут зависеть либо не зависеть от времени или номера реализации. На­личие или отсутствие этой зависимости определяет такие фундаментальные свой­ства сигналов, как стационарность и эргодичность. Стационарным называется сиг­нал, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Соответствен­но вероятностные характеристики эргодических сигналов не зависят от номера реализации.

Классификация случайных сигналов по признакам стационарности и эргодич­ности позволяет выделить следующие их виды: стационарные эргодические, ста­ционарные неэргодические, нестационарные эргодические и нестационарные неэргодические. В рамках курса мы ограничимся рассмотрением методов и средств измерения вероятностных характеристик случайных сигналов первого вида как наиболее простого и типичного. Для таких сигналов усреднение любой вероятностной характеристики по множеству реализаций эквивалентно усреднению по­времени одной теоретически бесконечно длинной реализации. Другими словами все вероятностные характеристики стационарного эргодического сигнала могут быть получены по одной его реализации. Ясно, что проводить измерения с одной реализацией сигнала значительно проще, чем с совокупностью реализаций.

Для практических приложений наиболее важны следующие вероятностные характеристики стационарных эргодических сигналов, имеющих длительность реализации Т (ГОСТ 16465—70):

среднее значение (математическое ожидание), характеризующее, как и

Рис. 8.1. Совокупность реализаций случайного сигнала.

для детерминированных сигналов (см. § 3.1), постоянную составляющую сигнала

(8.1)

средняя мощность, характеризующая энергетический уровень сигнала,

(8.2)

дисперсия, характеризующая среднюю мощность переменной составляющей (флюктуации) сигнала,

(8.3)

или среднее квадратическое отклонение его

(8.4)

функция распределения, определяемая как интегральная вероятность того что значение X_i(t_j) ниже некоторого заданного уровня х,

(8.5)

т. е. для стационарных эргодических сигналов F_x характеризуется относитель­ным временем пребывания значений реализации ниже уровня х ( — i-й интер­вал пребывания; п — количество интервалов);

одномерная плотность вероятности, называемая также дифференциальным законом распределения,

(8.6)

где — расстояние между соседними уровнями X_i(t_j) и , называемое дифференциальным коридором, а — i-й интервал пребывания реализации в пределах этого коридора;

корреляционная функция, характеризующая стохастическую связь между мгновенными значениями случайного сигнала, разделенными заданным интерва­лом времени ,

(8.7)

или нормированная корреляционная функция

(8.8)

взаимная корреляционная функция, характеризующая стохастическую связь между мгновенными значениями двух случайных сигналов X(t) и Y(t), разделен­ными интервалом времени ,

(8.9)

и соответствующая ей нормированная взаимная корреляционная функция

(8.10)

спектральная плотность мощности, определяющая среднюю мощность сиг­нала, приходящуюся на единицу полосы частот. Распределение средней мощно­сти по частоте характеризует энергетический спектр сигнала. Он может быть определен для каждой реализации x_i(t) по общим правилам (см. § 7.8). Оказы­вается, что для стационарных случайных сигналов функция спектральной плот­ности мощности связана с корреляционной функцией парой преобразо­ваний Фурье (теорема Винера — Хинчина):

(8.11)

Если мы имеем два стационарных сигнала X(t) и Y(t), они могут быть оха­рактеризованы взаимной спектральной плотностью мощности, которая в общем случае является комплексной величиной . Поэтому на практике опреде­ляют функции действительной и мнимой составляющих :

(8.12)

При расчетах по формулам (8.11) и (8.12) можно пользоваться значениями и . Тогда функции спектральной плотности мощности будут норми­рованными.

Как следует из формул (8.1) — (8.12), все вероятностные характеристики, представляющие собой неслучайные числа или функции, определяются по одной реализации X(t) бесконечной длительности. Практически же длительность Т, на­зываемая продолжительностью анализа, всегда ограничена. Поэтому реально всякая экспериментальная характеристика отличается от соответствующей ве­роятностной (теоретической) характеристики и может являться только ее оцен­кой. Оценки, полученные аппаратурным путем, называются статистическими ха­рактеристиками и обозначаются знаком « » (см. § 1.3). В этом смысле измере­ние характеристик случайных сигналов всегда сопровождается статистическими погрешностями. В остальном метрологические характеристики анализаторов ста­тистических характеристик аналогичны характеристикам приборов других под­групп и регламентируются ГОСТ 8.251—77. Анализаторы статистических харак­теристик входят в подгруппу X (см. § 2.1), где они образуют вид Х6.