5.4 Пример определения алгоритма работы цифрового регулятора положения для электропривода с астатизмом первого порядка

Пример 5.3. Получить алгоритм работы цифрового регулятора положения для ЭП с астатизмом первого порядка. Числовые значения коэффициентов передаточной функции регулятора принять из примера 4.2 (см. программу 1). Получить алгоритм работы цифрового ИД-регулятора, передаточная функция которого получена в результате аппроксимации ЛАЧХ (рис. 4.9) в примере 4.2. При решении задачи считать период квантования Т₀ = 0,001 с.

Решение. Для упрощения передаточной функции регулятора положения составим программу:

>> num=[4.73 702.7 5.219e004 7.594e004 0];

>> den=[0.1454 85.36 2558 1258 0];

>> sys=tf(num, den);

>> minreal(sys)

Transfer function:

32.53 s^3 + 4833 s^2 + 3.589e005 s + 5.223e005

----------------------------------------------

s^3 + 587.1 s^2 + 1.759e004 s + 8652

Для определения передаточной функции цифрового регулятора положения W_рп(z) с применением формулы трапеций (bilinear) составим программу в MatLab.

>> num=[32.53 4833 3.589e005 5.223e005];

>> den=[ 1 587.1 1.759e004 8652];

>> Fs=1000;

>> [numd, dend]=bilinear(num, den, Fs)

numd =

26.9936 -76.9804 73.2571 -23.2699

dend =

1.0000 -2.5341 2.0818 -0.5477

Запишем передаточную функцию РП относительно переменной z. Полученная модель по структуре соответствует модели РП из примера 5.1 (см. формулу 5.1). Поэтому, применив схему непосредственного программирования (рис. 5.1), получаем уравнения состояния:

и уравнение выхода:

Векторно-матричная форма уравнений цифрового регулятора положения:

По векторно-матричным уравнениям определяем коэффициенты матриц А, B, C, D, соответственно:

; ; .

Передаточная функция ИД-регулятора положения синтезирована в примере 4.2 и записывается

.

Передаточную функцию цифрового ИД-регулятора положения определим согласно программе:

>> num=[0.20842 38.2264 60.256];

>> den=[6.4935e-003 4.3305 1];

>> Fs=1000;

>>[numd, dend]=bilinear(num, den, Fs)

numd =

26.2788 -48.1360 21.8642

dend =

1.0000 -1.4998 0.4999

Записываем передаточную функцию цифрового регулятора:

Полученное выражение по своей структуре также совпадает с передаточной функцией цифрового ПИД-регулятора, рассчитанного в примере 5.1, поэтому для определения соответствующих матриц воспользуемся аналогичными формулами:

; ; ; .

5.5 Пример моделирования электропривода с астатизмом первого порядка

Пример 5.4. Составить схему для моделирования электроприводов с астатизмом первого порядка с цифровыми регуляторами положения, алгоритмы которых рассчитаны в примере 5.3. Провести моделирование ССДМ с целью сравнения показателей качества переходных процессов. Получить графики реакции системы при отработке задающего и возмущающих воздействий и проанализировать их.

Рис. 5.8. Схема моделирования электроприводов с астатизмом первого порядка с цифровыми регуляторами положения Discrete State-Space1 и Discrete State-Space3

Решение. 1. Составляем схему моделирования электроприводов, изображенную на рис. 5.8. В верхней части рисунка показана ССДМ ЭП с цифровым регулятором, синтезированным аналитическим способом (Discrete State-Space1). На рис. 5.9 показано диалоговое окно блока Discrete State-Space1 с матрицами А, В, С, D и коэффициентами, рассчитанными согласно (5.4).

Рис. 5.9. Диалоговое окно блока Discrete State-Space1

В нижней части рис. 5.8 показана ССДМ ЭП с цифровым ИД-регулятором, синтезированным графоаналитическим способом (Discrete State-Space3). Диалоговое окно блока Discrete State-Space3 с коэффициентами матриц А, В, С, D, рассчитанными согласно (5.5), показано на рис. 5.10.

2. Проводим моделирование. Для получения переходных характеристик системы по цепи управления в блоках Step и Step1 задаем ступенчатый единичный сигнал. На рис. 5.11 показаны результаты моделирования в виде переходных характеристик системы по задающему воздействию, которые регистрируются блоком Scope1.

Рис. 5.10. Диалоговое окно блока Discrete State-Space3

(t), рад

1

2

t, c

Рис. 5.11. Переходные характеристики системы по задающему воздействию

Проведем сравнительный анализ полученных графиков. График 1 является реакцией системы с цифровым регулятором, синтезированным аналитическим способом. График 2 – реакция системы с цифровым ИД-регулятором. Из анализа графиков видно, что перерегулирование в первом случае не превышает 36 %; во втором случае перерегулирование составляет 3,7 %. При этом быстродействие ЭП с цифровым ИД-регулятором становится ниже и ПВДУЗ равно 0,088 с, тогда как для графика 1 ПВДУЗ более чем в два раза меньше и составляет примерно 0,04 с. В целом процесс управления цифровым ИД-регулятором является более плавным, что обеспечивает благоприятный процесс слежения в ЭП.

Для получения графиков ошибок системы на входы ЭП с различными цифровыми регуляторами необходимо подать линейно возрастающее задающее воздействие. На схеме (рис. 5.8) данное типовое воздействие сформировано в виде сигналов с выходов блоков Ramp3 и Ramp4 = = 0,8772tс^-1

Результаты моделирования регистрируются блоком Scope2 и показаны на рис. 5.12, 5.13.

2

1

2

t, c

Рис. 5.12. График ошибки системы при линейно возрастающем

задающем воздействии

Из анализа графиков следует, что аналитический способ синтеза цифрового регулятора (график 1) дает более высокую точность и установившаяся ошибка , тогда как цифровой ИД-регулятор, синтезированный графоаналитическим способом значительно снижает точность и установившаяся ошибка (см. график 2) = 0,0035. Данное снижение точности может быть вызвано погрешностью графического определения коэффициента передачи ИД-регулятора (см. рис. 4.9).

1

2

t, c

Рис. 5.13. Графики моментной составляющей ошибки системы при линейно возрастающем моменте сопротивления

Из анализа графиков, представленных на рис., 5.13, следует, что моментная составляющая ошибок системы сравнительно невелика и при аналитическом способе синтеза цифрового регулятора (график 1) установившаяся ошибка пренебрежимо мала и составляет . Цифровой ИД-регулятор, синтезированный графоаналитическим способом, снижает точность и установившаяся ошибка, равная , показана на графике 2.