2.2.1. Преобразование структурной схемы динамической модели двигателя

Прежде чем обеспечить настройку КС на ОМ необходимо преобразовать ССДМ двигателя, изображенную на рис. 1.3. Осуществим перенос сумматора 2 к сумматору 1 против хода прохождения сигнала через передаточную функцию обмотки якоря: .

В результате получается преобразованная ССДМ двигателя, изображенная на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Преобразованная ССДМ двигателя

Преобразование замкнутого контура (рис. 2.8) с обратной связью (штриховая линия) дает передаточную функцию двигателя:

, (2.20)

где К_дв = 1/К_е – коэффициент передачи двигателя по скорости.

В зависимости от соотношения постоянных времени T_э и Т_м, корни многочлена

могут быть вещественными либо комплексно-сопряженными.

Последний случай (см. пример 1.1) соответствует соотношению Т_м < 4Т_э и приводит к колебательному процессу (рис. 1.18) изменения угловой скорости вращения двигателя.

2.2.2. Расчет параметров регулятора скорости и построение структурной схемы динамической модели контура скорости

В соответствии со схемой (рис. 2.9), определяем передаточную функцию разомкнутого КС:

. (2.21)

Передаточная функция КС, настроенного на ОМ, имеет вид:

, (2.22)

где – суммарная постоянная времени КС.

Рис. 2.9. Структурная схема динамической модели контура скорости

Приравнивая правые части выражений (2.21) и (2.22), получим уравнение:

,

из которого находим передаточную функцию РС:

. (2.23)

Выражение (2.23) представляет собой передаточную функцию, свойства которой соответствуют динамическим свойствам ПИД-регулятора.

Для реализации данной структуры необходимо в передаточную функцию (2.23) добавить инерционное звено с малой постоянной времени . Тогда передаточная функция РС запишется как

.

Поскольку, постоянная времени Т_рс1 < Т_рс2, то малую постоянную времени – РС Т_рс3 принимаем из соображений, что

(N = 10).

Постоянную времени Т_рс3 следует отнести к суммарной малой постоянной времени КС и считать по формуле:

. (2.24)

Для подтверждения правильности проведенных расчетов необходимо получить график ЛЧХ, график переходной функции КС по задающему воздействию и график переходной функции КС по моменту сопротивления нагрузки . По результатам моделирования проводится анализ и сравнительная оценка полученных показателей качества.

2.3. Пример синтеза регулятора скорости

Пример 2.1. Синтезировать РС, обеспечивающий настройку КС на ОМ. Для расчета использовать данные двигателя, рассчитанные в лабораторной работе № 1.

Провести моделирование КС: получить графики переходных функций по задающему воздействию и по моменту сопротивления нагрузки ; построить график ЛЧХ разомкнутого КС; провести анализ результатов моделирования.

Для моделирования принять следующие параметры:

– постоянная времени БП Т_бп = 0,003 с;

– постоянная времени ТГ Т_тг = 0,0018 с;

– момент сопротивления нагрузки = 180 Нм;

– входное напряжение суммирующего усилителя КС = 10 В;

– выходное напряжение усилителя регулятора скорости = 2 В.

Решение. 1. Коэффициент передачи тахогенератора:

К_тг = ;

коэффициент передачи блока питания:

;

постоянные времени РС:

с; с; с.

Задаем Т_рс3 = 0,002 с.

Суммарная малая постоянная времени контура скорости:

с.

2. Для моделирования построим ССДМ КС. Реализацию динамического звена на входе воздействия момента сопротивления нагрузки (рис. 2.10) необходимо выполнить с добавлением удаленного полюса с малой постоянной времени с ССДМ КС в системе Simulink представлена на рис. 2.10.

Для построения переходной характеристики по управляющему воздействию необходимо нажать пиктограмму Start Simulation. Перед этим устанавливается время интегрирования, в 6 ÷ 10 раз превышающее максимальную постоянную времени контура скорости (в меню Simulation Parameters на вкладке Solver устанавливается время интегрирования Stop Time).

Рис. 2.10. Структурная схема динамической модели контура скорости

в системе Simulink

Для моделирования в блоке Step задаем входное воздействие В, а в блоке Step 1 значение момента сопротивления нагрузки . На рис. 2.11 изображена соответствующая переходная характеристика контура скорости по управляющему воздействию.

Ω(t), рад/с

t, c

Рис. 2.11. Переходная характеристика контура скорости по управляющему воздействию

Для построения переходной характеристики по моменту сопротивления нагрузки М_с устанавливаем, соответственно, в блоке Step входное воздействие , а в блоке Step 1 – момент сопротивления . Полученная переходная характеристика представлена на рис. 2.12.

(t), рад/с

t, c

Рис. 2.12. Переходная характеристика контура скорости по моменту

сопротивления

3. Переходим к анализу полученных графиков. По графику на рис. 2.11 определяем максимальное значение угловой скорости вращения двигателя _max = 329 рад/с и установившееся значение скорости _уст = 314 рад/с. По этим данным рассчитываем перерегулирование:

.

Перерегулирование, полученное в результате моделирования, отличается от требуемого значения 4,3 %. Такое изменение обусловлено влиянием малой постоянной времени Т_тг. Если принять Т_тг = 0, то перерегулирование будет равно 4,3 %, а передаточная функция ТГ представится безынерционным звеном:

W_тг(s) = К_тг.

При этом суммарную малую постоянную времени КС следует рассчитывать по формуле:

.

Время нарастания определяется в первой точке пересечения графика переходной функции и установившегося значения угловой скорости _уст и составляет:

0,026 с.

Проверяем соответствие полученного значения требованиям настройки на ОМ:

с.

Из анализа графика на рис. 2.12 следует, что при воздействии неизменного по величине момента сопротивления М_с моментная составляющая ошибки Δ_м примерно через 0,4 с становится равной нулю. Это говорит о том, что искусственная механическая характеристика стала абсолютно жесткой. Увеличение точности обусловлено наличием в структуре регулятора скорости интегральной составляющей.

4. Для построения ЛЧХ необходимо написать программу в Command Window системы MatLab. Поскольку, ЛЧХ строятся на основе передаточной функции разомкнутого контура скорости, то все передаточные функции соответствующих элементов, входящих в него, необходимо перемножить и получить:

.

Обозначая = sys1, = sys2, = sys3, = sys4, составляем программу в соответствии со следующим алгоритмом:

num1 = [T_pc1T_pc2 T_pc1 1];

den1 = [2 K_бпK_двK_тгT_pc3 2 K_бпK_двK_тг 0];

sys1 = tf (num1, den1);

num2 = [K_бп];

den2 = [T_бп 1];

sys2 = tf(num2, den2);

num3 = [K_дв];

den3 = [T_эT_м T_м 1];

sys3 = tf(num3, den3);

num4 = [K_тг];

den4 = [T_тг 1];

sys4 = tf(num4, den4);

sys5 = sys1*sys2*sys3*sys4

В результате решения будет получена искомая передаточная функция разомкнутого КС с численными значениями коэффициентов полиномов числителя и знаменателя b₂, b₁, b₀, d₆, d₅, d₄, d₃, d₂, d₁, d₀ = 0:

. (2.25)

Далее переходим к построению ЛЧХ:

w = logspace (– n, m);

num = [b₂ b₁ b₀];

den = [d₆ d₅ d₄ d₃ d₂ d₁ 0];

bode(num, den, w)

Значения (– n, m) являются показателями степени при основании 10, указывающем диапазон частот. Обычно ограничиваются диапазоном – 3, 3. В этом случае, частота будет изменяться в пределах .

Для нашего примера, перед тем как применить программу построения ЛЧХ, соответствующую приведенному алгоритму, находим коэффициенты из блоков Transfer Fcn, Transfer Fcn1, Gain, Transfer Fcn2, Transfer Fcn3 схемы, изображенной на рис. 2.10:

num1=[0.001264 0.0316 1];

>> den1=[0.0001395 0.0698 0];

>> sys1=tf(num1, den1)

Transfer function:

0.001264 s^2 + 0.0316 s + 1

---------------------------

0.0001395 s^2 + 0.0698 s

>> num2=[30];

den2=[0.003 1];

sys2=tf(num2, den2)

Transfer function:

30

-----------

0.003 s + 1

>> num3=[5.376];

den3=[0.001264 0.0316 1];

sys3=tf(num3, den3)

Transfer function:

5.376

---------------------------

0.001264 s^2 + 0.0316 s + 1

>> num4=[0.0318];

den4=[0.0018 1];

sys4=tf(num4, den4)

Transfer function:

0.0318

------------

0.0018 s + 1

>> sys5=sys1*sys2*sys3*sys4

Transfer function:

0.006483 s^2 + 0.1621 s + 5.129

-----------------------------------------------------------------------------------------

9.522e-013 s^6 + 1.347e-009 s^5 + 6.336e-007 s^4 + 0.0001043 s^3 + 0.00268 s^2 + 0.0698 s

>> w=logspace (-3, 3);

>> num=[0.006483 0.1621 5.129];

>> den=[9.522e-013 1.347e-009 6.336e-007 0.0001043 0.00268 0.0698 0];

>> bode(num, den, w)

Результаты моделирования представлены на рис. 2.13.

Из анализа графиков видно, что запасы устойчивости по фазе и амплитуде составляют: L_з = 14,8 дБ (Gain Margin) и (Phase Margin), соответственно.

Напомним, что запас устойчивости по амплитуде L_з определяется как разность между линией 0 дБ и значением логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) на частоте, соответствующей точке пересечения графика фазовой частотной характеристики со значением 180°.

Запас устойчивости по фазе вычисляется по формуле:

.

Значение фазы соответствует частоте среза _с, т.е. точке пересечения графика ЛАЧХ с линией 0 дБ.

Рис. 2.13. Логарифмические частотные характеристики контура скорости

Результаты моделирования подтверждают правильность расчета параметров РС и позволяют сделать вывод о том, что КС настроен на ОМ.