7) Решение одной задачи электроразведки.

Требуется найти решение задачи Дирихле для внешности сферы единичного радиуса, если искомая функция зависит только от расстояния переменной точки до центра сферы и от – угла, который радиус-вектор переменной точки, направленный из центра сферы, образует с направлением от центра сферы к «северному полюсу». Решение должно обращаться в нуль в бесконечно удаленной точке и принимать значения на поверхности сферы.

Запишем для функции уравнение Лапласа в сферических координатах, учитывая, что не зависит от :

.

Представим решение в виде , подставим в уравнение и разделим переменные, введя константу . Мы получим систему равенств

Сделаем замену: . Тогда последнее уравнение системы в новых терминах примет вид . Это уравнение встречалось нам в примере 6 пятого параграфа с константой , и именно при таком значении постоянной решение последнего уравнения будет ограниченным при . Следовательно, решение последнего уравнения системы имеет вид , где – полином Лежандра. Константу мы также определили. Следовательно, нам остается решить первое уравнение системы:

.

Последнее дифференциальное уравнение – это уравнение Эйлера, которое с помощью замены приводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами и имеет решение вида . Поскольку наше решение должно обращаться в нуль в бесконечно удаленной точке, приходится положить . Таким образом, мы получили решение уравнения Лапласа, обращающееся в нуль в бесконечности, в виде

.

Остается удовлетворить краевому условию . В силу ортогональности системы из полиномов Лежандра, замечая, что , мы получим: . Итак, решение задачи имеет вид

.

10. Распространение волн в пространстве

Рассмотрим уравнения колебаний в пространстве: , где . Поскольку в этих случаях область колебания неограниченна, краевые условия в соответствующей задаче отсутствуют, а имеются только начальные условия: задаются и .

Радиальные колебания. Рассмотрим случай колебаний при условии, что отклонения зависят помимо времени только от расстояния точки до начала координат. Здесь целесообразно ввести сферические координаты . В этих координатах уравнение колебаний примет вид . В соответствии с условием , и уравнение колебаний примет вид . Введем новую функцию . Поскольку , уравнение для новой функции примет вид , и решением последнего уравнения будет , где и – произвольные дважды дифференцируемые функции. Однако в этот произвол следует ввести условие , обеспечивающее ограниченность функции при . При выполнении последнего условия получим решение в виде . В частности, .

Метод усреднения. Для решения трехмерной задачи колебаний в общем случае – для уравнения с начальными условиями – вводят новую функцию – усреднение искомой функции по сферической поверхности, окружающей выбранную точку.

Зафиксируем . Введем функцию , где – точка на сфере радиуса с центром . Если ввести локально сферические координаты в участвующий в усреднении поверхностный интеграл 1-го рода: то получим другую форму усреднения:

Очевидно, что, устремляя к нулю, имеем .

Результат усреднения – – уже функция только двух переменных. Получим уравнение, которому удовлетворяет усреднение. Для этого проинтегрируем обе части уравнения колебаний по шару радиуса с центром . Согласно формуле Гаусса-Остроградского, интегрируя лапласиан в правой части уравнения колебаний, получим

,

где – координаты единичного вектора нормали к поверхности сферы, который совпадает по направлению с направлением радиуса-вектора точки на сфере, направленного из центра сферы. С другой стороны, выражение под интегралом в правой части последнего соотношения представляет собой производную по направлению радиуса-вектора, то есть,

=

Интегрируя левую часть уравнения колебаний по шару и вводя сферические координаты, получим

Таким образом, усреднение удовлетворяет равенству

.

Дифференцируя последнее равенство по , получим уравнение

, которое было решено в предыдущем пункте. Поэтому введенное усреднение имеет представление: , где – произвольная функция. При этом .

Для того, чтобы применить начальные условия, заметим, что . Полагая , а затем , получим

.

Следовательно, решение поставленной задачи имеет вид

.

Физическая интерпретация решения. Представим, что функции и отличны от 0 только в ограниченной трехмерной области . Если , то при значениях , близких к 0, имеем и

, следовательно, . То есть колебаний в точке при таких значениях не происходит. Значение увеличивается, и наконец, наступает момент , когда . Так возникают ненулевые смещения в точке , возникает волна. Значение продолжает увеличиваться и наступает момент , когда – колебания прекращаются.

Итак, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства колебания, локализованные во времени.

Случай двух переменных. Если рассматривать плоские колебания, то есть случай, когда , физическая картина распространения таких волн будет несколько иной. Дело в том, что подобные колебания можно трактовать как колебания в бесконечном пространстве, когда смещения одинаковы для всех точек с одной и той же аппликатой. Такие смещения называются цилиндрическими. При задании начальных условий в таком случае мы также должны задавать начальные смещения и скорости одинаковыми для точек с одинаковыми аппликатами. Поэтому при локализации начальных условий на плоскости (конечная плоская область) в пространстве это окажется бесконечным цилиндром. Предположим, что ненулевые начальные условия локализованы в плоской области и . При значениях , близких к 0, колебаний в точке не будет. Но вот после того, как с ростом значений сфера радиуса с центром в точке пересечет бесконечный цилиндра с основанием , точки сферы при некоторых значениях и окажутся внутри этого бесконечного цилиндра. В этих точках значения функций, задающих начальные условия, ненулевые, поэтому при соответствующих значениях в точке на плоскости возникнут колебания. При любом дальнейшем увеличении сфера радиуса с центром в точке будет пересекать бесконечный цилиндр с основанием . Поэтому в отличие от трехмерного случая колебания не затухнут сразу, а будут бесконечно продолжаться, медленно затухая.