5) Решение задачи о распространении тепла в круглой пластине.

Пусть горизонтально расположенная круглая пластина радиуса с центром в начале координат является настолько тонкой, что по высоте ее температура не меняется. Пусть ее верхняя и нижняя поверхности являются теплоизолированными, а температура внутри пластины зависит только от расстояния соответствующей точки до центра. В этом случае целесообразно перейти от декартовых координат к полярным и искать температуру в пластине в виде функции , где – расстояние точки до центра пластина, – время, .

Зададим начальное условие: , и нулевое граничное условие: . Если бы граничное условие не было нулевым, следовало бы представить решение в виде суммы искомой функции и константы, совпадающей со значением граничной температуры.

Уравнение теплопроводности (17) с учетом того, что функция не зависит от , примет вид

,

а после введения полярных координат станет таким: . Учитывая, что наша функция не зависит от , получим в результате уравнение

.

Представляя решение задачи в виде , подставляя в уравнение, разделяя переменные и вводя константу, получим,

.

Исследуем, как и выше, вопрос о том, какой может быть константа . С учетом того, что на границе постоянно поддерживается нулевая температура, с течением времени, очевидно, невзирая на начальное распределение температур, внутренние точки пластины будут иметь температуру, приближающуюся к нулевой. Поскольку , указанный процесс при возможен только если . Следовательно, является решением уравнения . Сделаем следующие замены в последнем уравнении: , . Тогда функция является решением уравнения , которое является уравнением Бесселя с . Поэтому . В соответствии с граничным условием имеем: . Следовательно, – -й положительный корень функции Бесселя . В результате решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее заданному граничному условию, имеет вид

.

Остается найти коэффициенты , используя начальное условие. Поскольку , искомые коэффициенты являются коэффициентами разложения функции в соответствующий ряд Фурье-Бесселя, и значит,

.

6) Решение краевых задач Дирихле и Неймана в круге.

Рассмотрим уравнение Лапласа в круге для функции , которое согласно определениям параграфа 3 имеет вид . Задачей Дирихле называется задача определения гармонической (удовлетворяющей уравнению Лапласа) функции в области по ее значениям на границе этой области. Задачей Неймана называется задача определения гармонической функции в области по значениям ее производной по нормали к границе на границе этой области.

В данном случае границей области является окружность с центром в нулевой точке, а нормаль к границе совпадает по направлению с радиусом-вектором граничной точки. Очевидно, что для решения задач целесообразно перейти к полярным координатам: . Переходя к новым координатам, получим уравнение Лапласа в виде

. (34)

Будем решать задачи методом Фурье, где условие однородности краевых условий по одной из переменных заменены условием ограниченности решения в круге и условием -периодичности функции по переменной .

Возьмем решение в виде , где частное решение удовлетворяет уравнению Лапласа, ограничено и -периодично по , то есть, . Подставляя частное решение в уравнение, получим после разделения переменных , что возможно только в случае, когда обе части уравнения – константы. Имея опыт решения дифференциальных уравнений, мы видим, что периодическое решение можно получить только в случае, когда . Тогда , причем -периодичность возможна только при , . Теперь для функции имеем уравнение . Такое уравнение приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами заменой . Действительно, имеем , откуда, возвращаясь к переменной , получим , .

Учитывая, что решение в круге должно быть ограниченным, возьмем . Таким образом, решение уравнения (34) имеет вид

. (35)

Если мы решаем задачу Дирихле с краевым условием , то имеем , и значит, , , , .

Если мы решаем задачу Неймана с краевым условием , то имеем . Очевидно, что заданная функция не должна иметь свободного члена при разложении в тригонометрический ряд Фурье. То есть, должно выполняться условие разрешимости задачи Неймана: .

Если условие разрешимости выполнено, коэффициенты решения (35) определяются по формулам

, , .

Пользуясь полученным решением задачи Дирихле в виде ряда (35), найдем

представление этого же решения в виде интеграла. Для этого внесем в решение (35) все коэффициенты:

Воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии . Теперь получим

и окончательно имеем формулу

,

называемую формулой Пуассона.