4. Распространение волн в бесконечных электрических линиях.

Представим электрическую линию, длинную настолько, что на электрические колебания в ее средней части не будут оказывать заметного влияния концы линии. Такую линию можно считать бесконечной:

1) Рассмотрим случай линии без потерь. Будем изучать напряжение в такой линии. Как было показано в предыдущем параграфе, напряжения , удовлетворяют уравнению

(20)

где . Предположим, что в начальный момент задано распределение напряжения ( ) и тока ( ) вдоль всей линии. Необходимо восстановить напряжения , во всей линии в любой момент времени после начального момента. Это означает, что мы должны решить уравнение (20) и удовлетворить начальным условиям и .

То, что начальных условий должно быть два, следует из порядка производной по . К сожалению, второе начальное условие задано не как условие на функцию , поэтому прежде всего мы должны получить из условия некоторое начальное условие на искомую функцию .

Рассмотрим уравнение (7), которое в условиях линии без потерь ( ) приобретает вид

. (21)

Рассматривая уравнение (21) при , имеем

,

и отсюда мы получаем второе начальное условие на искомую функцию:

.

Решим теперь уравнение (20). Прежде всего, приведем его к каноническому виду. Уравнением характеристик для (20) является дифференциальное уравнение

,

распадающееся на два уравнения: и . Поэтому для приведения (20) к каноническому виду введем замену: , . Выражая производные через новые переменные в уравнении (20), мы получим уравнение

,

уже решенное в первом параграфе в качестве примера. Воспользовавшись этим решением, имеем

.

Возвращаясь к исходным переменным и , получим окончательное решение уравнения (20):

, (22)

где функции и – произвольные.

Устраним произвол, потребовав выполнения начальных условий

,

. (23)

Подставляя (22) в (23), получим

Интегрируя последнее уравнение системы, получим новую систему:

которая определяет функции и :

В итоге, согласно (22) искомое напряжение имеет вид

. (24)

Задача восстановления силы тока в такой цепи решается аналогично. Решите ее самостоятельно и получите формулу

.

Выясним физический смысл функций, входящих в решение (24). Предположим, что , а функция задана графически:

При мы получим в соответствии с (24) и с начальным условием начальное распределение напряжений: .

Рассмотрим . Тогда . Графическое изображение функции мы получим, если график функции сдвинем на влево и сожмем по вертикали вдвое, графическое изображение функции мы получим, если график функции сдвинем на вправо и сожмем по вертикали вдвое. В итоге, сумма этих функций при небольших значениях дает картину вида

При увеличении волна будет перемещаться все левее, а волна все правее, пока их проекции на ось OX не перестанут пересекаться, и волны не разойдутся в разные стороны.

Предположим теперь, что , а функция задана графически:

При мы получим в соответствии с (24) и с начальным условием начальное распределение напряжений:

где .

Рассмотрим . Тогда . Здесь так же, как в предыдущем случае, начинают расходиться волны, только расположены они по разные стороны от оси OX: та, которая смещается влево, является зеркальным отражением той, которая смещается вправо, относительно OX.

При увеличении волна будет перемещаться все левее, а волна все правее, пока волны не разойдутся в разные стороны.

Рассмотрим случай линии без искажений. Как было показано в параграфе 3, введение новой функции по формуле позволяет свести телеграфное уравнения к уравнениям колебаний, уже решенным для случая линии без потерь.

Проследим за начальными условиями для введенной функции. Пусть заданы начальные распределения напряжений и тока вдоль бесконечной линии: и . Очевидно, что в таком случае . Подставим в уравнение (7) . Получим

.

Поскольку , из предыдущего равенства следует соотношение

. (25)

Учтем теперь, что имеет место следующая зависимость между параметрами электрической линии: . Теперь соотношение (25) примет вид

.

Уравнение и начальные условия для введенной функции совпадают с уравнением и начальными условиями задачи, решенной выше. Пользуясь готовым решением (24) и возвращаясь к функции , мы получим распределение напряжений в бесконечной линии без искажений:

.

Аналогично строится решение задачи восстановления тока в бесконечной линии без искажений:

.

Геометрическая картина распространения волн в линии без искажений будет отличаться от соответствующей картины для линии без потерь тем, что присутствие коэффициента приводит к постепенному затуханию волн.

Заметим, что в случае конечных линий мы не можем использовать полученное решение, так как дойдя до концов, волны отразятся и возникнет эффект наложения волн, искажающий картину. Поэтому для случая конечных электрических линий, а также для решения других задач математической физики нам следует познакомиться с другими методами.