3) Задача о колебании круглой мембраны.
Выше было выведено уравнение колебаний плоской мембраны, имеющее вид:
,
(31)
где
.
Функция
в этом случае означает отклонение
точки
в момент
от горизонтальной плоскости. Будем
искать решение уравнения (31), удовлетворяющее
условиям:
(начальные условия) и принимающее
заданное значение на границе области
(граничное условие). Такая задача
для волнового уравнения называется
первой краевой
задачей.
Приведём решение этой задачи при
некоторых упрощающих предположениях:
пусть область G
является кругом с центром в начале
координат радиуса
,
а искомая функция
при
переходе к полярным координатам на
плоскости переходящая в
,
не зависит от
,
то есть решение симметрично относительно
.
В полярных координатах уравнение
колебаний имеет вид :
,
но в случае симметрии по
оно ещё упрощается, а соответствующая
первая краевая задача принимает следующий
вид.
Найти решение
уравнения
при условиях:
(граничное условие ) и
(начальные условия).
Сформулированную задачу будем решать методом разделения переменных.
Пусть
–
частное решение, удовлетворяющее
уравнению колебаний и нулевым граничным
условиям. Подставляя это произведение
в уравнение, разделяя переменные и
вводя параметр, имеем
.
Отсюда получим
уравнение относительно
:
.
Введем в уравнении
новое переменное
и новую функцию:
.
Тогда уравнение относительно
для новой функции примет вид
.
Последнее уравнение
– это уравнение Бесселя при
,
то есть
.
В соответствии с граничным условием
,
следовательно, постоянная
должна принимать значения
,
где
– положительные нули функции Бесселя
.
Подставим найденные
значения
в уравнение для
.
Отсюда следует, что
,
а функции
, k
= 1, 2, . . . являются решениями уравнения
колебаний, удовлетворяющими граничным
условиям, при любых
.
Составим теперь сумму таких функций
и
подберём коэффициенты
и
так, чтобы выполнялись и начальные
условия.
Соотношения
и
означают,
что функции
разлагаются в ряды по функциям Бесселя
,
при этом коэффициенты
определяются однозначно:
;
,
здесь через
обозначено отношение
,
т.е.
4) Решение задачи теплопроводности в конечном стержне.
Требуется
восстановить температуру внутри стержня
с теплоизолированной боковой поверхностью
длины
,
если конец
теплоизолирован, а на конце
поддерживается постоянная температура
.
Начальное распределение температуры
задано:
.
Как было показано в параграфе 3, температура
стержня удовлетворяет уравнению
теплопроводности
.
Краевые условия имеют вид:
.
Здесь имеется
неоднородность на правом конце, поэтому
сразу применять метод Фурье нельзя.
Представим искомую функцию в виде
,
где функция
должна удовлетворять уравнению
теплопроводности и заданным краевым
условиям. В данном случае такая функция
будет очень простой:
.
Функция
должна удовлетворять уравнению
теплопроводности, краевым условиям
и начальному условию
.
Так же, как в задачах
об электрических колебаниях, представим
решение в виде
,
где частное решение
удовлетворяет уравнению теплопроводности
и нулевым краевым условиям. Подставляя
в краевые условия, получим:
.
Подставляя
в уравнение теплопроводности, получим,
разделяя переменные:
.
Очевидно, что стоящая слева и зависящая
только от
функция совпадает со стоящей справа и
зависящей только от
функцией только тогда, когда и левая, и
правая части равенства равны не зависимой
от
и от
константе. Используя краевые условия,
исследуем, какими могут быть эти константы
так же, как в предыдущих задачах.
А) Предполагая, что , решая дифференциальное уравнение и используя краевые условия, получим только тривиальное (нулевое) частное решение.
Б) Предполагая,
что
,
также получим только тривиальное
решение.
В) Предположим,
что
.
В этом случае, решая линейное уравнение
с постоянными коэффициентами,
получим
.
Условие
дает
.
Выполняя второе краевое условие
,
приходим к равенству
.
Нетривиальное решение мы получим только
при условии, что
,
.
Решая теперь уравнение для
:
,
получим
.
В силу произвольности
решение может быть взято в виде
.
Остается применить начальное условие
и определить константы
.
Имеем
.
Нетрудно проверить,
что функции
образуют
ортонормальную систему на отрезке
,
поэтому
.