9. Метод Фурье (разделения переменных) решения задач

математической физики

Метод Фурье состоит в том, что мы отыскиваем частные решения линейного однородного уравнения в частных производных, удовлетворяющие нулевым краевым условиям, в виде – в том случае, когда переменными являются и . Линейная комбинация таких решений с произвольными коэффициентами при удовлетворении начальных условий дает ряд Фурье для известных функций. Таким образом, произвольные ранее коэффициенты определяются из начальных условий.

В случаях, когда краевые условия не являются нулевыми, прибегают к дополнительным частным решениям. Эти приемы будут продемонстрированы при решении конкретных задач.

1) Распределение напряжений в электрической линии конечной длины.

Пусть у линии без искажений длины оба конца изолированы. Найдем распределение потенциала вдоль линии, если в начальный момент потенциал распределен по закону , . В начальный момент ток в цепи отсутствует.

В соответствии с рассуждениями параграфа 3 при условии мы вводим новую функцию . Уравнение для новой функции принимает вид

. (28)

Условие изолированности концов означает, что . Очевидно, что для новой функции краевые условия будут таким же: . Подставляя начальное распределение потенциала в выражение , получаем для новой функции начальное условие . Второе начальное условие получим так же, как это было сделано в параграфе 4, из условия . Оно имеет вид . Таким образом, в дополнение к уравнению (28) мы имеем нулевые краевые условия и начальные условия и .

Решение задачи мы ищем в виде , где частное решение удовлетворяет уравнению (28) и нулевым краевым условиям. Подставляя в краевые условия, получим: . Подставляя в уравнение (28), получим, разделяя переменные: . Очевидно, что стоящая слева и зависящая только от функция совпадает со стоящей справа и зависящей только от функцией только тогда, когда при каждом и левая, и правая части равенства равны не зависимой от и от константе. Исследуем, какими могут быть эти константы.

А) Предположим, что . В этом случае, решая линейное уравнение с постоянными коэффициентами , получим . Требуя выполнения краевых условий , построим для коэффициентов и систему имеющую только тривиальные решения. Следовательно, предположение о том, что привело только к нулевым частным решениям.

Б) Предположим, что . Такому уравнению удовлетворяет только линейная функция: . Выполняя краевые условия, получим . Таким образом, существует нетривиальное решение . Соответствующее уравнение для дает . Таким образом, отвечающее значению нулевой константы частное решение (в силу произвольности и ) можно взять в виде .

В) Предположим, что . В этом случае, решая линейное уравнение с постоянными коэффициентами , получим . Условие дает . Выполняя второе краевое условие , приходим к равенству . Нетривиальное решение мы получим только при условии, что , . Решая теперь уравнение для : , получим . В силу произвольности констант и частное решение можно взять в виде

, .

Итак, решение поставленной задачи для функции имеет вид

. (29)

Нам остается удовлетворить начальным условиям:

и .

Поскольку произвольные константы оказываются связанными с коэффициентами Фурье разложения функции и константы в ряды по косинусам на отрезке , получим ; , , .

В результате решение для функции имеет вид

.

Теперь для того, чтобы получить распределение напряжений , следует умножить полученное решение для на .