8. Интегральные преобразования.

Интегральные преобразования тесно связаны с рядами Фурье. До сих пор с любой кусочно-непрерывной функцией мы связывали ряд Фурье. Иногда имеет смысл заменить ряд несобственным интегралом. Покажем, как это можно сделать на примере тригонометрического ряда Фурье в комплексной форме.

Как уже было сказано, любой кусочно-непрерывной на отрезке функции можно поставить в соответствие ряд Фурье , где

, .

Представим теперь, что кусочно-непрерывна на отрезке . Путем

простейшей замены мы преобразуем отрезок в отрезок и для функции построим соответствующий ряд, выраженный через переменную . Возвращаясь к старой переменной, получим , где

.

Предположим теперь, что кусочно-непрерывна на отрезке при любом и существует несобственный интеграл . Обозначим и . Очевидно, что . Тогда

.

Последнее выражение в цепочке равенств – это интегральная сумма функции . Пусть , тогда , и интегральная сумма превращается в интеграл. Тогда в точках непрерывности мы получим представление

,

где

.

Запишем последние две формулы в несколько ином виде:

, (26)

где

. (27)

Представление (26) называется представлением функции в виде интеграла Фурье, а выражение (27) называется интегральным преобразованием Фурье. Представление (26) еще называют и обратным преобразованием Фурье.

Заметим, что интегральное преобразование Фурье удобно использовать в

дифференциальных уравнениях, так как . Докажите это самостоятельно с помощью интегрирования по частям пользуясь тем, что существование предполагает, что .

Аналогично тому, как от ряда Фурье был совершён переход к интегральной формуле Фурье (26), с помощью некоторых замен и предельных переходов от ряда Фурье-Бесселя можно перейти к интегральной формуле Фурье – Ханкеля (Ганкеля).

.

Если обозначить

(26’)

и назвать эту функцию преобразованием Ханкеля функции , то из предыдущей формулы следует:

. (27’)

Это формула представления функции в виде интеграла Ханкеля или формула обратного преобразования Ханкеля.

Интегральное преобразование Ханкеля удобно применять при решении уравнений, записанных в полярных координатах. Так, например, можно показать, что если к функции применить оператор , то после ряда вычислений получим:

,

т.е. применение оператора к функции приводит к умножению образа Ханкеля этой функции на .