11. Метод интегральных преобразований решения задач

математической физики

Преобразование Фурье в задаче теплопроводности для бесконечного стержня

Рассмотрим задачу теплопроводности для стержня с теплоизолированной боковой поверхностью настолько длинного, что на процессы, проходящие в центральной части стержня, не влияют температурные режимы на концах стержня. Такой стержень мы будем считать бесконечным и не будем задавать краевых условий. Таким образом, стоит задача решения уравнения теплопроводности

, ,

если задано начальное распределение температур: .

Применим к обеим частям уравнения теплопроводности интегральное преобразование Фурье (27) по переменной . Мы получим в соответствии со свойством преобразования Фурье от производной следующее равенство:

.

При условии достаточной гладкости искомого решения в левой части последнего уравнения можно поменять дифференцирование по и интегрирование по . Тогда, используя принятое обозначение для преобразования Фурье, получим равенство

.

Последнее соотношение является дифференциальным уравнением относительно , решая которое, получим . Поскольку , имеем . Таким образом,

.

К полученному выражению применим обратное преобразование Фурье (26):

.

Если в последней формуле изменить порядок интегрирования, то решение задачи представится в виде:

. (36)

Оказывается, внутренний интеграл (по переменной ) может быть вычислен. Прежде всего заметим, что в силу нечетности синуса

Обозначим . Тогда – это интеграл по всей плоскости от функции , который легко вычислить, переходя к полярным координатам. Действительно, , следовательно . Теперь можно сосчитать интеграл , сделав соответствующую замену переменной.

Рассмотрим еще более сложный интеграл:

Нетрудно видеть из определения интеграла , что при дифференцировании по параметру получим: . Следовательно, этот интеграл удовлетворяет уравнению . Решая это уравнение, получим . Используем начальное условие и наконец получим .

Таким образом, внутренний интеграл в представлении (36) равен , и мы, наконец, получили окончательное представление решения:

.

Пример применения преобразования Ханкеля.

Интегральное преобразование Ханкеля (27’) удобно применять к уравнениям, содержащим оператор . Этот оператор встречается в различных задачах при переходе к полярным координатам. Как отмечалось выше, применение этого оператора к функции f(x) приводит к умножению образа Ханкеля этой функции на .

В геологии в задачах электроразведки при изучении горизонтально-слоистых сред (см. ) применение преобразования Ханкеля позволяет получить выражение функции , называемой приведённым импедансным отношением слоистого разреза, если известны результаты измерений электрического поля на различных расстояниях от источника (при заданной силе тока I). Имеют место следующие формулы:

(37)

( Здесь – радиальная компонента электрического поля точечного источника, равная , где U – потенциал этого поля.). Применяя обратное преобразование Ханкеля (26’), получим:

. (38)

Заметим, что наряду с функциями Бесселя и преобразованием Фурье-Бесселя, в теоретических исследованиях, связанных с электроразведкой, применяются и другие специальные функции. Так, при изучении поля точечного источника в присутствии сферического проводящего включения приходится пользоваться полиномами Лежандра и их свойствами.

Преобразования этого типа применяются и при решении обратных задач в методах электрического зондирования с целью определения параметров геоэлектрического разреза.

ПРИЛОЖЕНИЕ

(некоторые сведения о специальных функциях)

Свойства и таблицы значений специальных функций приведены во многих изданиях, например, . Здесь мы даем те сведения, которыми пользовались в настоящем пособии.

Функции Бесселя. Наряду с уравнением определяющим тригонометрические функции, в задачах математической физики почти так же часто встречается ещё одно обыкновенное дифференциальное уравнение, называемое уравнением Бесселя:

, (П1)

где – любое вещественное число. Решения этого уравнения называют функциями Бесселя, или цилиндрическими функциями порядка , обозначение: В дальнейшем мы увидим, что у этих функций есть немало общего с тригонометрическими функциями, но если тригонометрические известны из школьного курса и действия с ними не вызывают затруднений, то для работы с функциями Бесселя требуется некоторая тренировка, знание основных формул и соотношений между ними. Более полное изложение теории и приложений функций Бесселя к задачам математической физики и геофизики будет встречаться в дальнейшем в специальных курсах. (См., например, ).

В привычных элементарных функциях решения уравнения (П1) не выражаются, поэтому будем решать это уравнение в виде степенного ряда. Итак, перепишем уравнение (П1) в виде

, (П2)

и будем искать его решение в виде ряда

(П3)

где и множитель объясняется тем, что в точке первый коэффициент уравнения (8) обращается в нуль. Подставим ряд (П3) в уравнение (П2) и приравняв коэффициенты при соответствующих степенях переменной , получим систему:

откуда следует:

. (П4)

Пусть – нецелое число. При из формул (П4) выразим все коэффициенты ряда (П3) через и :

=

, = 1, 2, ….

Здесь и в дальнейшем в формулах для коэффициентов используется гамма-функция , обладающая следующим свойством:

.

(Заметим, что если – целое число, то )

Положим , тогда , и решение уравнения принимает вид:

, (П5)

Полученная функция называется функцией Бесселя первого рода порядка

При все коэффициенты ряда (П3) опять равны нулю, а коэффициенты с чётными номерами вычисляются заменой на . Таким образом,

(П6)

Это тоже функция Бесселя, но с отрицательным индексом. Ряды (П5) и (П6) сходятся для любого значения и являются двумя линейно независимыми решениями уравнения Бесселя при нецелых значениях Если же где п – целое число, то легко показать, что , то есть эти решения линейно зависимы. В этом случае в качестве второго независимого решения уравнения Бесселя можно взять, например, функцию Неймана:

(П7)

Она называется цилиндрической функцией второго рода и при целом рассматривается как предел этого отношения, находящийся по правилу Лопиталя. В приложениях важны также следующие линейные комбинации:

(П8)

называемые функциями Ханкеля, или цилиндрическими функциями третьего рода. Связь между функциями Бесселя, Неймана и Ханкеля аналогична связи между косинусом, синусом и показательной функцией мнимого аргумента. Эта аналогия замечается при изучении их асимптотического поведения: при имеют место приводимые без доказательства асимптотические формулы.

(П9)

Обращая внимание на последнюю формулу, отметим следующее свойство функции Бесселя: так же, как и косинус, функция имеет бесконечное количество нулей на положительной части вещественной оси. В случаях, когда речь идет о функциях определенного порядка, верхний индекс нулей функции Бесселя часто опускается.

Ниже приведены графики функций Бесселя для значений .

Имеет место ряд формул для функций Бесселя, аналогичных формулам для тригонометрических функций:

(П10)

Как уже отмечалось, одним из самых важных свойств функций Бесселя является их ортогональность с весом на промежутке (0,1):

(П11)

Проведём доказательство формул (П11). В уравнении Бесселя (П2) сделаем замену: . Полученное уравнение , как было показано, имеет своим решением , то есть замена на превращает уравнение в тождество. Рассмотрим два таких тождества, полагая :

.

Умножим теперь первое из этих тождеств на , а второе на и вычтем. После ряда преобразований это равенство принимает вид:

. (П12)

Если и положить равными двум различным нулям функции (значениям и ), то разделив это равенство на и проинтегрировав его от 0 до 1, получим .

( При выражение в квадратной скобке равно нулю в силу (П5) ) .

Вторая из формул (П11) получается из (П12) с помощью интегрирования по и выполнения следующего предельного перехода: полагается равным и .

Функции Бесселя можно рассматривать не только при действительных, но и при комплексных значениях аргумента. В частности, если в ряд (П5), определяющий , подставить значение вместо , получим

, где – вещественная функция. При имеем:

.

Функция монотонно возрастает. Имеет место асимптотическая формула при больших значениях х. Функции Бесселя мнимого аргумента являются решениями уравнения

Полиномы Лежандра. Как уже отмечалось в параграфе 5, ещё одним часто встречающимся видом специальных функций являются полиномы Лежандра. Аналогично функциям Бесселя полиномы можно определить как решения уравнения Лежандра

. (П13)

Нетрудно проверить, что полином вида

(П14)

удовлетворяет уравнению (П13). Действительно, рассмотрим , вычислим , умножим это равенство на , получим , а теперь, применяя формулу Лейбница, найдём -ю производную от обеих его частей:

.

Приведём подобные члены, умножим все слагаемые на и заменяя на , получаем уравнение (П13).

Непосредственно из формулы (П14) следует, что многочлен имеет п корней, принадлежащих интервалу (–1,1). Кроме того, непосредственным вычислением можно получить, что . Следовательно, если положить , то многочлен Лежандра

будет обладать свойством

Докажем ортогональность полиномов Лежандра. Воспользуемся для этого известной из начал математического анализа формулой интегрирования по частям , имеющей следующее обобщение: . Рассмотрим , где – многочлен степени меньше п. Легко видеть, что в этом случае, применяя к интегралу обобщённую формулу интегрирования по частям, мы получим в правой части нуль. Следовательно многочлен на промежутке (–1,1) ортогонален любому многочлену меньшей степени и, в частности,

(П15)

Найдём значение интеграла ; он лишь множителем отличается от интеграла . Если к этому интегралу снова применить обобщённую формулу интегрирования по частям, то после ряда преобразований он сведётся к интегралу, равному . Этот последний интеграл вычисляется с помощью замены и оказывается равным .

Таким образом, окончательно получим:

. (П16)

Итак, показано, что полиномы Лежандра образуют ортогональную систему функций на промежутке (–1,1). Более подробную информацию о специальных функциях, применяемых в математической физике можно найти в учебниках

ЛИТЕРАТУРА

1. А.Ф.Никифоров, В.Б.Уваров. Основы теории специальных функций. «Наука», 1976.

2. Б.К.Матвеев. Электроразведка. «Недра» 1990.

3. М.С.Жданов. Электроразведка. «Недра», 1986.

4. Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.т.1, 2, 3. (Все издания).

5. А.Н.Тихонов и А.А.Самарский. Уравнения математической физики. (Все издания).

57