2.7 Построение лчх в цифровых системах

В общем случае ПФ разомкнутой цифровой системы имеет вид:

Для построения ЛЧХ используется W – преобразование и ЛЧХ строится в функции псевдочастоты. .

Для цифровых систем как и для импульсных для низких частот ПФ практически совпадают с ПФ исходной непрерывной части. В этой области .

Покажем это на примере системы с ПФ:

, (2.7.1)

и экстраполятором нулевого порядка.

Примем, что все сопрягаемые частоты звеньев знаменателя меньше , или ( ). То есть изломы асимптотической ЛАХ расположены в НЧ области .

Разложим (1) на простые дроби:

, (2.7.2)

где - коэффициенты разложения.

(2.7.3)

С учетом ПФ для дискретной ПФ:

, (2.7.4)

где , ( ).

Заменим и перейдем к дискретной частотной ПФ заменой

(2.7.5)

Так как было принято, что , то .

Откуда получим:

(2.7.6)

Сравнивая выражения (2.7.6) и (2.7.2) видим, что они совпадают в НЧ области, так как было принято , то влияние дополнительного множителя можно не учитывать в НЧ области. Таким образом частотные характеристики непрерывной и цифровой системы совпадают в области НЧ. Этот же вывод непосредственно следует из теоремы Котельникова.

Также, как и в импульсных системах может быть применен приближённый способ построения ЛЧХ. В области низких частот ( ) ЛАХ цифровой системы принимают равной ЛАХ непрерывной части, а высокочастотную область ЛАХ, лежащую за частотой , строят по методике построения ЛАХ импульсных систем.

2.11 Последовательная коррекция с помощью аналоговых регуляторов

В общем случае коррекция цифровых САУ может производиться за счет аналоговой (непрерывной) или цифровой части. Цели и задачи динамического синтеза цифровых САУ те же, что и непрерывных (устойчивость и качество управления).

Рассмотрим синтез цифровых систем управления с помощью последовательного непрерывного корректирующего устройства.

Цифровая часть отражена квантователем с периодом Т и частотой ω₀=2π/Т и экстраполятором нулевого порядка.

Квантователь символизирует то, что информация на выходе системы и в канале обратной связи имеет цифровой или импульсный характер вследствие применения цифровых преобразователей. Однако аналоговый регулятор может обрабатывать выходной сигнал квантователя только после декодирования и фиксации с помощью Э₀.

Рисунок 2.11.1 – ЦСАУ

. (2.11.1)

Поскольку регулятор расположен между Э₀ и объектом управления, запишем импульсную ПФ разомкнутой системы в виде:

(2.11.2)

Целью синтеза является определение физически реализуемой передаточной функции Wку(S) аналогового регулятора, обеспечивающего требуемые показатели качества ЦСАУ.

2.11.1 Аппроксимация операции выборки и хранения звеном чистого запаздывания.

Этот метод инженерный (приближённый), и к применению его для решения задач синтеза следует относится с осторожностью.

Рассмотрим синтез цифровой системы управления с аналоговым регулятором, включенным последовательно.

Рисунок 2.11.1.1

ПФ разомкнутой скорректированной системы может быть записана с помощью – преобразования.

Запишем частотную ПФ разомкнутой импульсной системы, соответствующую (2.11.2)

. (2.11.3)

Примем смещение ε=0 , и учитывая (2.6.5), (2.11.2), и что 2π=ω₀Т, представим выражение (2.11.3) в виде

(2.11.4)

Поскольку для САУ характерно, что W_об(jω) имеет свойства фильтра нижних частот, а в области низких частот отношение , то

выражение (2.11.1.2) можно аппроксимировать первым членом ряда ( r = 0), тогда получим:

(2.11.5)

Из выражения (2.11.5) следует, что операция выборки и хранения заменяется чистым запаздыванием на величину, равную половине периода квантования.

Структурная схема эквивалентной непрерывной системы имеет вид:

Рисунок 2.11.1.2

Эффект замены УВХ звеном чистого запаздывания поясняется рисунком (2.11.1.2). Рисунок показывает, что если аппроксимировать выходной сигнал экстраполятора пунктирной линией, проходящей через середины плоских вершин, соответствующих импульсов , то будет получен непрерывный сигнал h(t) почти такой же формы как сигнал v(t) на входе квантователя , но сдвинутый в сторону запаздывания на половину периода квантования Т/2.

Приближенность рассмотренного метода состоит в недостаточной обоснованности замены ряда (2.11.4) всего одним членом. Это допустимо в том случае, если частота среза системы . Если замена УВХ чистым запаздыванием является обоснованной, то ПФ Wку(S) находится методами, разработанными для непрерывных САУ.

Пример, иллюстрирующий скрытые опасности.

ПФ нескорректированной системы W(S):

(2.11.6)

ФЧХ звена чистого запаздывания

Рисунок 2.11.1.3

Из рисунка (2.11.1.3) видно, что в нескорректированной системе запас по фазе равен нулю. В точно построенных ЛЧХ (без аппроксимации УВХ) запас по фазе равен 15 т.е. этот метод дает заниженную оценку устойчивости. Кроме того, при (в данном примере 4рад/с) истинная ФЧХ претерпевает разрыв, т.к. множитель в этой точке меняет знак ( ).

Если же пользоваться выражением (2.11.6), то ФЧХ будет непрерывной при всех значениях ω.

Предположим, что необходимо обеспечить запас по фазе γ=45° и выбрать вид последовательного КУ для обеспечения устойчивости. КУ может быть фазоопережающего и фазоотстающего типа. Известно, что фазоопережающее (дифференцирующее) КУ увеличивают . В данном случае ФЧХ имеет крутопадающий вид после ω=1с^-1, поэтому коррекция с опережением по фазе может оказаться неэффективной, т.к. дополнительного положительного фазового сдвига может быть недостаточно для компенсации резкого убывания фазы нескорректированной системы в окрестности новой частоты среза.

Поэтому более подходящей для данной системы оказывается коррекция фазоотстающего (интегро - дифференцирующего ) типа:

Рисунок 2.11.1.4

Из ФЧХ (рисунок 2.11.1.3) нескорректированной системы видно, что запас по фазе γ=45° можно получить на частоте среза ω_ср =0,4с^-1.

Для исключения влияния коррекции на запас по фазе выберем

Для проверки качества системы найдем z ПФ разомкнутой системы:

Ей соответствует переходной процесс в замкнутой системе

Рисунок 2.11.1.5

Из переходной характеристики видно, что она имеет сильно колебательный характер со слабым затуханием, что не соответствует запасу по фазе 45. В данном случае этот метод дает большую погрешность т.к. недостаточно мала по сравнению с 2/Т.