1.7 Z преобразование

Родственное D – преобразованию, получаемое заменой

Рисунок 1.7.1

Особый отрезок L на плоскости q отображается на плоскости Z в окружность радиуса r.

(рисунок 1.7.2)

Рисунок 1.7.2

1.8 Уравнения и пф разомкнутых импульсных систем

К линейным импульсным системам относятся амплитудно-импульсные системы с линейным импульсным элементом и линейной непрерывной частью (рисунок 1.8.1).

НЧ- непрерывная часть, ИЭ импульсный элемент

Рисунок 1.8.1

Разомкнем систему и расчленим условно ИЭ на две части: простейший импульсный элемент, и формирователь импульса (S(t)). На выходе простейшего импульсного элемента появляется сигнал U(t) в виде последовательности «δ» – импульсов. Немодулированная последовательность - импульсов описывается выражением:

(1.8.1)

В общем случае сигнал на выходе квантователя имеет вид решетчатой функции:

, (1.8.2)

g(t) – модулирующая функция, U[nT] – результат модуляции.

Формирователь импульса придает каждому -импульсу определенную форму. γT.

Обычно импульс на выходе АИЭ имеет прямоугольную форму. Рассмотрим определение ПФ W_ф(S) формирователя импульсов прямоугольной формы.

Представим процесс получения прямоугольника в виде разности:

(1.8.3)

Рисунок 1.8.2

Изображение единичного скачка

L{1(t)}=1/S

(1.8.4)

(1.8.5)

Второй метод состоит в нахождении преобразования Лапласа импульса (рис.1.8.2)

(1.8.6)

ПФ формирователя объединяют с ПФ непрерывной части и получают ПФ приведенной части.

W_n(S)=W_ф (S)W_н(S) (1.8.7)

Реакция приведенной непрерывной части на «δ» – импульс представляет собой импульсную переходную функцию непрерывной части k(t).

Таким образом, выходная величина представляет собой (рисунок 1.8.3) сумму реакций на каждый мгновенный импульс, то есть представляет собой сумму импульсных переходных функций , где m – момент приложения «δ» – импульса

Рисунок 1.8.3

(1.8.8)

Выражение (1.8.8) описывает значения выходной величины импульсной системы в дискретные моменты времени.

Если заменить в (1.8.8), то можно записать выражение выходной величины:

(1.8.9)

Изменяя смещение  в выражении (1.8.9) можно получить значение выходной величины разомкнутой импульсной системы в различные моменты времени.

При ε = 0 эти значения определяются дискретами решетчатой функции в моменты времени m. При 0 ≤ ε ≤ 1 можно получить промежуточные значения выходной величины (между дискретами).

Изображения входной и выходной величины разомкнутой ИС имеют вид:

ПФ разомкнутой ИС находится как отношение изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях:

ПФ импульсной системы может быть определена через ПФ непрерывной части с помощью – преобразования. Вначале находится ПФ непрерывной части

Аналогично непрерывным линейным системам имеет место следующее соотношение между ПФ и импульсной переходной функцией.

(1.8.16)

(1.8.17)

Пример: Определение дискретной ПФ импульсного фильтра:

В импульсной системе с простейшим ИЭ, ПФ непрерывной части имеет вид:

Найдем ПФ импульсного фильтра:

В общем случае ПФ разомкнутой ИС имеет вид

,

где

В соответствии со свойствами – преобразования ПФ будет периодической функцией с периодом вдоль мнимой оси плоскости комплексной переменной с периодом . Поэтому ПФ полностью определяется в основной полосе частот, шириной .

.

Переходя к z–форме с помощью подстановки , получим:

Переход к z – преобразованию позволяет в выражении дискретной ПФ устранить трансцендентность, при этом основная полоса шириной на плоскости q отображается на всю плоскость z, а отрезок мнимой оси отображается в окружность единичного радиуса . При этом левая часть полосы отображается внутрь единичного круга.