2.15.5 Цифровые интеграторы

Рассмотрим алгоритмы цифрового интегрирования решетчатых функций, соответствующие . Операция интегрирования в операторном виде представляется как , т.е. является обратной операции дифференцирования и может быть получена из выражений (2.15.1.1), (2.15.1.2), (2.15.1.3) их переворачиванием.

Однако практически рассматриваются только первые слагаемые в этих формулах. Использование последних слагаемых в выражениях (2.15.1.1), (2.15.1.2) приводит к неустойчивому алгоритму, а выражение (2.15.1.3) к неустойчивым алгоритмам не приводит, но ничего не дает практически в части увеличения точности интегрирования. В результате получим

(2.15.5.3)

Оператор интегрирования:

(2.15.5.4)

Из выражений (2.15.5.1), (2.15.5.2), (2.15.5.3) можно получить разностные уравнения, определяющие алгоритм интегрирования для машинной переменной:

(2.15.5.5)

(2.15.5.6)

(2.15.5.7)

(2.15.5.8)

(2.15.5.9)

(2.15.5.10)

В выражениях (2.15.5.6), (2.15.5.8), (2.15.5.10), используется настоящие и прошлые значения входного сигнала g[n] и прошлые значения сигнала f_M[n]. Прошлые значения сигнала хранятся в памяти ЭВМ и эти выражения могут использоваться в реальном масштабе времени. При интегрировании постоянного во времени сигнала формулы (2.15.5.1), (2.15.5.2), (2.15.5.3) дают нулевую ошибку. Для определения ошибки при интегрировании сигнала другой формы вводят в рассмотрение ошибку интегрирования на шаге.

(2.15.5.11)

Изображение обратной разности:

(2.15.5.12)

Тогда изображение ошибки интегрирования на шаге:

(2.15.5.13)

F(z) – изображение функции .

F_M(z) – машинное значение интеграла.

Применив к (2.15.5.13) обратное z –преобразование получим, что ошибка на шаге:

(2.15.5.14)

Общая ошибка интегрирования может быть найдена суммированием ошибки на шаге по всем шагам.

(2.15.5.15)

Рассмотрим пример:

Входной сигнал

При интегрировании линейно возрастающего сигнала суммарная ошибка интегрирования может быть найдена умножением постоянной ошибки на шаге на число шагов N = t/T.

(2.15.5.16)

t – интервал интегрирования.

2.16 Цифровые фильтры

Предмет цифровой фильтрации данных (сигналов) является естественным введением в широкую и фундаментальную область цифровой обработки информации. Под фильтрацией будем понимать любое преобразование информации (сигналов, результатов наблюдений), при котором во входной последовательности обрабатываемых данных целенаправленно изменяются определенные соотношения (динамические или частотные) между различными компонентами этих данных.

К основным операциям фильтрации информации относят операции сглаживания, прогнозирования, дифференцирования, интегрирования и разделения сигналов, а также выделение информационных (полезных) сигналов и подавление шумов (помех).

Как известно, преобразование динамики сигналов (и данных, которые несут эти сигналы) осуществляется в системах. Соответственно, фильтры с любым целевым назначением являются частным случаем систем преобразования сигналов, в рамках теории которых они и будут рассматриваться.

В настоящем разделе рассматриваются, в основном, методы линейной обработки данных (носителей этих данных - сигналов) линейными дискретными системами. Линейными называют системы, которые осуществляют преобразование линейных комбинаций входных сигналов в суперпозицию выходных сигналов. Принцип реализации линейных систем, физический - в виде специальных микропроцессорных устройств, или алгоритмический - в виде программ на ЭВМ, существенного значения не имеет и определяет только их потенциальные возможности.

Цифровые фильтры (ЦФ) представляют собой цифровое устройство, реализующее алгоритм:

(2.16.1)

x[n], y[n] – «n»-ые отсчеты входного Х и выходного У сигналов. a_j и b_i – коэффициенты.

Поскольку операция умножения отсчетов цифрового сигнала на число часто выполняется неточно за счет округлений или усечений произведений, то в общем случае ЦФ не точно реализуют алгоритм (2.16.1). Однако в ЦФ, по сравнению с аналоговыми, погрешность выходного сигнала не зависит от условий, при которых работает фильтр (температура, влажность и т.д.). Кроме того, эта погрешность контролируема, т.е. ее можно уменьшить путем увеличения числа разрядов для построения отсчетов цифрового сигнала.

Достоинства ЦФ по сравнению с аналоговыми:

1. Высокая точность обработки сигналов и стабильность характеристик.

2. Возможность реализации алгоритмов и операций принципиально невозможных в аналоговых. Например, обработка инфранизкочастотных сигналов, поскольку длительность хранения информации Ц. элементами практически неограниченна.

Недостатки ЦФ:

1. Относительно низкая скорость обработки информации, вследствие задержек цифровых элементов.

2. Относительно большая стоимость.

3. Необходимость использовать на входе и выходе АЦП и ЦАП, что уменьшает быстродействие и точность.