2.15 Реализация на микроЭвм элементов и устройств в системе управления
2.15.1 Дифференциальные цифровые преобразователи
Рассмотрим задачу, когда непрерывная функция g(t) дискретизируется и представляется в виде решетчатой функции g[n] с периодом Т. Т.к. эта функция представляется в виде цифровой последовательности, то квантование по времени сопровождается квантованием по уровню, что приводит к появлению шумов квантования. Задача состоит в нахождении наибольшего приближения производной непрерывной функции к производной в цифровой форме.
В непрерывной форме операции дифференцирования соответствует оператор s. Для обработки цифровой последовательности g[n] необходимо найти приемлемые алгоритмы дифференцирования, которые можно использовать в ЦВМ.
Из z = eST можно найти lnz = ST; S = (1/T)lnz. Последнее выражение может быть разложено в ряд тремя способами:
Выражение (2.15.1.1) может быть использовано для дифференцирования только в том случае, когда известны будущие значения функции g[n] т.е. для реализации (2.15.1.1) необходимо хранение будущих значений в ЦВМ. Для обработки текущей информации выражение (2.15.1.1) не пригодно.
Выражение (2.15.1.2) не может быть использовано для целей дифференцирования т.к. будет получена неустойчивая программа обработки информации. Вследствие того, что во всех членах ряда (2.15.1.2) имеется полюс z = – 1, соответствующий колебательной границе устойчивости.
Выражение (2.15.1.3) может быть использовано для целей дифференцирования т.к. для реализации необходимо знать настоящие и прошлые значения функции g[n].
Ряд (2.15.1.3) должен быть сходящимся, при этом можно ограничиться конечным членом ряда и получить требуемую точность дифференцирования. Ошибка может быть оценена по первому отброшенному члену ряда. Оценка будет тем точнее, чем скорее сходится ряд. Для оценки условий сходимости ряда (2.15.1.3) проводим подстановку S = jω. В соответствии с принципом д’Аламбера условие сходимости имеет вид
│1-е-jωT│<1.
Условие сходимости: |2sinωT/2|<1;
fM < 1/6T.
Максимальная частота дифференцируемого сигнала должна быть в шесть раз меньше частоты следования импульсов, что достаточно хорошо согласуется с условиями теоремы Котельникова –Шеннона.
2.15.2 Алгоритмы дифференцирования
В качестве дифференцируемой функции g[n] может рассматриваться, например, задающее воздействие. Подобная задача возникает при реализации комбинированного управления, необходимого для построения инвариантной системы. При этом в соответствии с выражением (2.15.1.3) должны быть определены обратные разности выражения g[n]. Так для первого слагаемого получим: g(z)(1-z-1) = g(z) – z-1g(z)
Переходя к оригиналам, получим
(2.15.2.1)
В результате для первой машинной производной при использовании ограниченного числа ряда (2.15.1.3), получим
(2.15.2.2)
Для получения второй производной необходимо использовать оператор S2.
(2.15.2.3)
При реализации алгоритмов дифференцирования удобнее использовать не обратные разности, а значения решетчатой функции в дискретные моменты времени: nT, (n-1)T и т.д., хранящиеся в ячейках памяти. Эти выражения могут быть получены с использованием соотношений между обратными разностями и решетчатыми функциями. Используя коэффициенты бинома Ньютона можно записать для первой машинной производной:
Для второй производной:
(2.15.2.4)
Последние выражения для первой и второй машинных производных удобны для применения в ЦВМ.