2.16.1 Нерекурсивные фильтры
Выражение (2.16.1) описывает алгоритм рекурсивного ЦФ. При нулевых значениях коэффициентов аj – выражение (2.16.1) переходит в уравнение линейной дискретной свертки переменной x[n] с оператором bi.
(2.16.2)
Выражение (2.16.2) показывает, что выходные отсчеты y[n] определяются текущим и прошлым значениями входных отсчетов. Такой фильтр называется нерекурсивным ЦФ (НЦФ). Интервал суммирования i получил название окна. Окно фильтра составляет N+1 отсчет. Фильтр является односторонним (каузальным) т.е. причинно обусловленным текущим и прошлым значениями входного сигнала и выходной сигнал не опережает входной. Каузальный фильтр может быть реализован в реальном масштабе времени.
При
n
< i,
а также для выражения (2.16.1) n
< j
проведение фильтрации возможно лишь
при задании начальных условий
.
Как правило, в качестве начальных условий
принимают нулевые значения. При обработке
данных на ЭВМ ограничения по каузальности
снимаются. В памяти фильтра могут
храниться, как прошлые, так и будущие
значения входной последовательности
отсчетов относительно текущей точки
вычисления i.
При этом уравнение (2.16.2) имеет вид:
. (2.16.3)
При N’=N фильтр называют двусторонним симметричным. Симметричные фильтры в отличие от односторонних не изменяют фазы обрабатываемого сигнала.
Техника выполнения фильтрации иллюстрируется следующим примером.
Представим, что на одной полоске бумаги выписаны по порядку сверху вниз значения данных xn. На второй полоске записаны в обратном порядке значения bi. Для вычисления yn расположим вторую полоску напротив первой таким образом, чтобы b0 находился напротив xn. Перемножаем все значения bi с расположенными против них значениями xn-i, и суммируем все результаты перемножения. Результат суммирования является выходным значением сигнала yn . Сдвигаем окно фильтра - полоску коэффициентов bi, на один отсчет последовательности хn вниз (или массив хn сдвигаем на отсчет вверх) и вычисляем аналогично следующее значение выходного сигнала, и т.д.
Перемножаем все и суммируем (рисунок 2.16.1).
Рисунок 2.16.1
y[n] = b0x[n] + b1x[n-1] + b2x[n-2]; (2.16.4)
y[n+1] = b0x[n+1] + b1x[n] + b2x[n-1]. (2.16.5)
Описанный процесс является основной операцией цифровой фильтрации, и называется сверткой в вещественной области массива данных xn с функцией (оператором) фильтра bi (массивом коэффициентов фильтра). Сумма коэффициентов фильтра определяет коэффициент передачи (усиления) средних значений сигнала в окне фильтра и постоянной составляющей в целом по массиву данных (с учетом начальных и конечных условий). Как правило, сумма коэффициентов фильтра нормируется к 1.
Имеется целый ряд методов обработки данных, достаточно давно и широко известных, которые по существу относятся к методам цифровой фильтрации, хотя и не называются таковыми. Например, методы сглаживания отсчетов в скользящем окне постоянной длительности.
Для линейного сглаживания данных по пяти точкам с одинаковыми весовыми коэффициентами используется формула:
y[n] = 0.2(xn-2 + xn-1 + xn + xn+1 + xn+2); b0 = 0.2;
С позиций цифровой фильтрации это не что иное, как двусторонний симметричный нерекурсивный цифровой фильтр:
(2.16.6)
Сумма коэффициентов, сглаживающих нерекурсивных ЦФ всегда должна быть равна единице. Пример. Входной сигнал – ступенчатая функция:
Хn= (0,0,0,0,0,0,0,10,10,10,10,0,0,0…).
Уравнение НЦФ имеет вид (2.16.6)
Выходной сигнал : yn = (0,0,0,0,2,4,6,8,8,6,4,2,0…).
Результат фильтрации приведен на рисунке 2.16.2.
Рисунок 2.16.2
Координатная детальность выходного сигнала ниже входного, резкие изменения входных сигналов «размазываются» по аргументу.
В случае конечной функции хn функция уn также конечна. Нерекурсивные ЦФ относят к классу фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ).