Приклад 11. Метод Четверикова
Застосувати метод Четверикова для виділення компонент часового ряду, приведеного в табл. 12.6.
Розв’язання
1.
Проведемо вирівнювання емпіричного
ряду
з використанням центрованої плинної
середньої з періодом згладжування
.
Отриману попередню оцінку тренду віднімаємо з початкового емпіричного ряду
чи
2.
Обчислюємо для кожного року
і
(по рядку) середньоквадратичне відхилення
величини
,
використовуючи для цього формулу:
Таблиця 12.7. Значення величин :
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
1,22 |
1,29 |
1,60 |
1,54 |
2,00 |
1,63 |
1,38 |
1,83 |
1,82 |
1,69 |
1,67 |
1,90 |
5,55 |
При
обчисленні
до уваги беруться тільки шість останніх
рівнів першого року:
,
а при обчисленні
– перші шість рівнів тринадцятого року:
.
Ділимо окремі значення кожного місяця з табл. 12.6 на відхилення відповідного року. В результаті отримуємо табл. 12.7, в якій
3. Останній рядок табл. 12.7 є значеннями попередньої середньої сезонної хвилі, обчисленої за формулою:
Таблиця 12.7. Нормований залишковий ряд
Рік |
Місяць |
|||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1,19 |
1,31 |
0,84 |
0,43 |
-0,79 |
-0,65 |
2 |
-1,48 |
-1,85 |
-0,49 |
0,03 |
0,36 |
0,85 |
1,09 |
1,31 |
0,54 |
0,73 |
-0,31 |
-0,67 |
3 |
-1,38 |
-1,69 |
-0,19 |
-0,04 |
0,78 |
0,81 |
1,25 |
1,23 |
0,36 |
0,50 |
-0,78 |
-0,94 |
4 |
-2,04 |
-1,18 |
-0,25 |
0,27 |
0,75 |
0,93 |
1,07 |
1,08 |
0,70 |
0,64 |
0,01 |
-0,84 |
5 |
-1,48 |
-2,07 |
-0,67 |
-0,11 |
0,85 |
1,03 |
0,98 |
0,91 |
0,39 |
0,24 |
-0,32 |
-0,54 |
6 |
-1,42 |
-1,85 |
-0,42 |
0,07 |
0,98 |
1,13 |
1,05 |
0,85 |
0,51 |
0,24 |
-0,43 |
-0,90 |
7 |
-1,43 |
-1,74 |
-0,81 |
0,25 |
1,07 |
1,04 |
0,74 |
1,21 |
0,92 |
0,44 |
-0,25 |
-0,24 |
8 |
-1,96 |
-2,62 |
-0,70 |
0,05 |
0,73 |
0,98 |
0,83 |
0,95 |
0,85 |
0,27 |
-0,33 |
-0,31 |
9 |
-1,76 |
-1,65 |
-0,37 |
0,06 |
0,69 |
0,95 |
1Д4 |
1,08 |
0,40 |
0,36 |
-0,32 |
-0,90 |
10 |
-1,53 |
-1,99 |
-0,31 |
0,30 |
0,89 |
0,75 |
1,09 |
0,97 |
0,49 |
0,42 |
-0,22 |
-0,79 |
11 |
-1,30 |
-1,86 |
-0,68 |
-0,11 |
0,75 |
0,88 |
0,96 |
1,18 |
0,83 |
0,41 |
-0,77 |
-0,50 |
12 |
-1,41 |
-2,02 |
-0,01 |
0,03 |
1,16 |
0,75 |
0,84 |
1,09 |
0,89 |
0,17 |
-0,26 |
-0,55 |
13 |
-0,66 |
-0,67 |
-0,10 |
-0,01 |
0,29 |
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
-1,49 |
-1,68 |
-0,42 |
0,07 |
0,78 |
0,86 |
1,02 |
1,10 |
0,64 |
0,40 |
-0,40 |
-0,65 |
Таблиця 12.8.
Рік |
Місяць |
|||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
10,21 |
10,34 |
10,42 |
10,28 |
9,83 |
10,34 |
2 |
10,42 |
10,28 |
10,47 |
10,61 |
10,23 |
10,87 |
11,06 |
11,31 |
11,01 |
11,67 |
11,49 |
11,47 |
3 |
11,78 |
11,69 |
12,11 |
11,62 |
11,80 |
11,71 |
12,11 |
11,98 |
11,39 |
12,05 |
11,22 |
11,49 |
4 |
11,13 |
12,77 |
12,29 |
12,38 |
12,08 |
12,31 |
12,31 |
12,13 |
12,12 |
12,34 |
12,63 |
11,75 |
5 |
12,13 |
11,38 |
11,71 |
11,87 |
12,40 |
12,67 |
12,37 |
12,25 |
12,28 |
12,59 |
13,20 |
13,35 |
6 |
13,31 |
12,98 |
13,31 |
13,39 |
13,76 |
13,93 |
13,58 |
13,23 |
13,47 |
13,47 |
13,74 |
13,41 |
7 |
13,92 |
13,79 |
13,39 |
14,24 |
14,46 |
14,42 |
13,81 |
14,31 |
14,58 |
14,28 |
14,48 |
14,90 |
8 |
13,57 |
14,62 |
14,08 |
14,65 |
14,65 |
15,03 |
14,54 |
14,71 |
15,48 |
14,95 |
15,40 |
15,94 |
9 |
14,90 |
15,54 |
15,60 |
15,52 |
15,43 |
15,75 |
15,83 |
15,62 |
15,23 |
15,64 |
15,92 |
15,35 |
10 |
15,73 |
15,30 |
16,04 |
16,28 |
16,12 |
15,81 |
16,17 |
15,90 |
15,89 |
16,17 |
16,46 |
15,96 |
11 |
16,57 |
16,00 |
15,96 |
16,18 |
16,48 |
16,63 |
16,61 |
16,87 |
17,18 |
17,03 |
16,54 |
17,56 |
12 |
17,56 |
16,85 |
18,39 |
17,61 |
18,49 |
17,65 |
17,50 |
17,86 |
18,36 |
17,47 |
18,17 |
18,11 |
13 |
22,56 |
23,64 |
19,83 |
17,71 |
15,49 |
13,94 |
|
|
|
|
|
|
4.
Попередню середню сезонну хвилю
множимо на середньоквадратичне відхилення
кожного року
і віднімаємо з початкового емпіричного
ряду:
В результаті отримуємо ряд, позбавлений попередньої сезонної хвилі (табл. 12.8).
5.
Часовий ряд, позбавлений попередньої
сезонної хвилі, згладжуємо з використанням
простої плинної середньої з інтервалом
згладжування, рівним п’яти, і отримуємо
нову оцінку тренду
(табл. 12.9).
Таблиця 12.9. Нова оцінка тренду
Рік |
Місяць |
|||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10,22 |
10,24 |
10,26 |
10,23 |
2 |
10,27 |
10,42 |
10,40 |
10,49 |
10,65 |
10,82 |
10,90 |
11,18 |
11,31 |
11,39 |
11,48 |
11,62 |
3 |
11,71 |
11,73 |
11,80 |
11,79 |
11,87 |
11,84 |
11,80 |
11,85 |
11,75 |
11,63 |
11,46 |
11,73 |
4 |
11,78 |
12,02 |
12,13 |
12,37 |
12,27 |
12,24 |
12,19 |
12,24 |
12,31 |
12,19 |
12,19 |
12,05 |
5 |
11,92 |
11,79 |
11,90 |
12,01 |
12,20 |
12,31 |
12,39 |
12,43 |
12,54 |
12,73 |
12,95 |
13,09 |
6 |
13,23 |
13,27 |
13,35 |
13,43 |
13,59 |
13,58 |
13,59 |
13,54 |
13,50 |
13,46 |
13,60 |
13,67 |
7 |
13,65 |
13,75 |
13,96 |
14,06 |
14,06 |
14,25 |
14,32 |
14,28 |
14,29 |
14,51 |
14,36 |
14,37 |
8 |
14,33 |
14,36 |
14,31 |
14,61 |
14,59 |
14,72 |
14,88 |
14,94 |
15,02 |
15,30 |
15,33 |
15,35 |
9 |
15,48 |
15,50 |
15,40 |
15,57 |
15,63 |
15,63 |
15,57 |
15,61 |
15,65 |
15,55 |
15,57 |
15,59 |
10 |
15,67 |
15,74 |
15,89 |
15,91 |
16,08 |
16,06 |
15,98 |
15,99 |
16,12 |
16,08 |
16,21 |
16,23 |
11 |
16,19 |
16,13 |
16,24 |
16,25 |
16,37 |
16,55 |
16,75 |
16,86 |
16,85 |
17,04 |
17,17 |
17,11 |
12 |
17,38 |
17,59 |
17,78 |
17,80 |
17,93 |
17,82 |
17,97 |
17,77 |
17,87 |
17,99 |
18,93 |
19,99 |
13 |
20,46 |
20,37 |
19,85 |
18,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.
Обчислюємо відхилення ряду
від початкового емпіричного ряду
:
Отримані відхилення піддаємо обробці відповідно до пп. 2 і 3 для виявлення нових значень сезонної хвилі. Отримуємо наступні значення:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
-1,54 |
-1,81 |
-0,43 |
0,08 |
0,82 |
0,93 |
1,01 |
1,09 |
0,63 |
0,41 |
-0,40 |
-0,72 |
При
порівнянні значень коефіцієнтів сезонної
хвилі, отриманих на першій і другій
ітераціях, т. е. значень
і
,
неважко помітити, що вони трохи
відрізняються один від одного.
7. Обчислюємо коефіцієнт напруженості сезонної хвилі в такому порядку: за формулою фактично отримуємо значення випадкової компоненти, які для нашого прикладу приведені в табл. 12.10.
Таблиця 12.10. Обчислення значень випадкової компоненти
Рік |
Місяць |
|||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
1 |
-0,23 |
-0,50 |
-0,04 |
0,13 |
-0,23 |
0,23 |
0,47 |
0,46 |
-0,10 |
0,39 |
-0,11 |
-0,27 |
2 |
-0,77 |
-0,92 |
0,07 |
-0,14 |
0,36 |
0,32 |
0,93 |
0,80 |
0,03 |
0,65 |
-0,48 |
-0,56 |
3 |
-1,4 |
-0,02 |
-0,06 |
0,04 |
0,13 |
0,46 |
0,68 |
0,49 |
0,17 |
0,36 |
-0,22 |
-0,58 |
4 |
-1,23 |
-1,96 |
-0,60 |
-0,08 |
0,94 |
1,15 |
1,01 |
.0,93 |
0,39 |
0,25 |
0,15 |
-0,32 |
5 |
-0,81 |
-1,22 |
-0,29 |
-0,05 |
0,62 |
0,82 |
0,64 |
0,39 |
0,38 |
0,25 |
-0,11 |
-0,60 |
6 |
-0,25 |
-0,47 |
-0,72 |
0,20 |
0,66 |
0,43 |
-0,11 |
0,46 |
0,54 |
-0,09 |
-0,03 |
0,35 |
7 |
-1,95 |
-1,00 |
-0,57 |
0,09 |
0,67 |
0,95 |
0,5 2 |
0,69 |
1,00 |
-0,03 |
0,26 |
0,12 |
8 |
-1,75 |
-1,21 |
-0,13 |
0 |
0,40 |
0,76 |
1,11 |
0,92 |
0,11 |
0,41 |
0,02 |
-0,70 |
9 |
-0,92 |
-1,47 |
-0,13 |
0,41 |
0,54 |
0,27 |
0,90 |
0,68 |
0,22 |
0,36 |
-0,03 |
-0,65 |
10 |
-0,57 |
-1,13 |
0,56 |
-0,03 |
0,59 |
0,59 |
0,55 |
0,76 |
0,77 |
0,25 |
-0,90 |
0,08 |
11 |
-1,13 |
-2,12 |
0,24 |
-0,14 |
1,22 |
0,53 |
0,46 |
1,09 |
1,08 |
-0,17 |
-1,12 |
-2,40 |
12 |
-0,23 |
-0,50 |
-0,04 |
0,13 |
-0,23 |
0,23 |
0,47 |
0,46 |
-0,10 |
0,39 |
-0,11 |
-0,27 |
З використанням співвідношення:
визначаємо
величини коефіцієнта напруженості
для кожного року, окрім першого і
останнього.
Таблиця 12.11. Значення коефіцієнта напруженості сезонної хвилі
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
3,02 |
2,47 |
2,44 |
2,09 |
2,48 |
2,48 |
2,41 |
2,10 |
2,34 |
2,08 |
1,79 |
8.
Використовуючи коефіцієнт напруженості
обчислюємо остаточні значення сезонної
компоненти часового ряду (табл. 12.12):
.
Таблиця 12.12. Сезонна компонента часового ряду
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
-4,65 |
-5,47 |
-1,30 |
0,24 |
2,48 |
2,81 |
3,05 |
3,29 |
1,90 |
1,24 |
-1,21 |
-2,17 |
-3,80 |
-4,47 |
-1,01 |
0,20 |
2,03 |
2,30 |
2,49 |
2,69 |
1,56 |
1,01 |
-0,99 |
-1,78 |
-3,76 |
-4,42 |
-1,04 |
0,20 |
2,00 |
2,27 |
2,46 |
2,66 |
1,52 |
1,00 |
-0,96 |
-1,76 |
-3,22 |
-3,78 |
-0,90 |
0,17 |
1,71 |
1,94 |
2,11 |
2,28 |
1,25 |
0,86 |
-0,84 |
-1,50 |
-3,82 |
-4,49 |
-1,07 |
0,20 |
2,03 |
2,31 |
2,50 |
2,70 |
1,56 |
1,02 |
-0,99 |
-1,78 |
-3,82 |
-4,49 |
-1,07 |
0,20 |
2,03 |
2,31 |
2,51 |
2,70 |
1,56 |
1,02 |
-0,99 |
-1,79 |
3,71 |
-4,36 |
-1,04 |
0,19 |
1,98 |
2,24 |
2,43 |
2,63 |
1,52 |
0,99 |
-0,96 |
-1,74 |
-3,23 |
-3,80 |
-0,90 |
0,17 |
1,72 |
1,95 |
2,12 |
2,29 |
1,32 |
0,86 |
-0,84 |
-1,51 |
-3,60 |
-4,24 |
-1,01 |
0,19 |
1,92 |
2,18 |
2,36 |
2,55 |
1,47 |
0,96 |
-0,94 |
-1,68 |
-3,20 |
-3,76 |
-0,89 |
0,17 |
1,71 |
1,93 |
2,10 |
2,27 |
1,31 |
0,85 |
-0,83 |
-1,50 |
-2,76 |
-3,24 |
-0,77 |
0,14 |
1,47 |
1,66 |
1,81 |
1,95 |
1,13 |
0,73 |
-0,72 |
-1,29 |