3. Парна лінійна регресія

3.1. Суть задачі побудови парної лінійної регресії

Об’єктом дослідження стохастичної залежності соціально-економічних процесів можуть бути різні статистичні показники.

До них в економіці можна віднести: обсяг реалізації, собівартість продукції, прибуток підприємства і т. д. На макроекономічному рівні показниками можуть виступати: ВВП, суспільний продукт і ін.

На рівень розвитку одного показника можуть впливати багато факторів, рівень впливу яких різний. Ці закономірності потрібно враховувати під час планування, прогнозування і проведення економічного аналізу.

Для вивчення форми зв’язку між показниками і факторами на основі статистичних даних використовується регресійний аналіз.

Парною лінійною регресією на називається одностороння стохастична лінійна залежність між випадковими величинами показника і фактора , які знаходяться в причинно-наслідкових відношеннях, причому зміна фактора викликає зміну показника.

Нехай, маємо результати пар незалежних спостережень, зображених у вигляді множини точок в декартовій системі координат. Припустимо гіпотезу, що між показником та фактором існує стохастична лінійна залежність. Суть задачі полягає у тому, щоб в декартовій системі координат знайти згладжувальну лінію, яка «найкращим» чином проходить через задану множину точок.

Найпоширенішим методом при розв’язанні подібних задач є метод найменших квадратів (МНК). Завносниками МНК є К. Гаусс і П. Лаплас. Це один з методів «теорії» помилок для оцінки невідомих величин за результатами змін, які містять випадкові помилки. МНК застосовується також для наближеного представлення заданої функції іншими функціями і часто виявляється корисним при обробці спостережень.

Суть обґрунтування МНК полягає в припущенні, що «втрати» від заміни точного значення фізичної величини її наближеним значенням , обчисленим за результатами спостережень, пропорційна квадрату похибки: В цих умовах оптимальною оцінкою природно визнати таку, без систематичної помилки величину , для якої середнє значення «втрат» мінімальне. Саме ця умова складає МНК.

3.2. Передумови застосування методу найменших квадратів (1мнк)

Нехай економетрична модель у матричній формі має вигляд:

,

де – вектор значень залежної змінної; – матриця незалежних змінних розміром ( – число спостережень, – кількість незалежних змінних); – вектор оцінок параметрів моделі; – вектор залишків.

Щоб застосувати 1МНК для оцінки параметрів моделі, необхідне виконання таких умов:

1. Математичне сподівання залишків дорівнює нулю, тобто:

2. Значення вектора залишків незалежні між собою і мають постійну дисперсію, тобто:

,

де – одинична матриця.

3. Незалежні змінні моделі не пов’язані із залишками:

4. Незалежні змінні моделі утворюють лінійно незалежну систему векторів, або, іншими словами, незалежні змінні не повинні бути мультиколінеарними, тобто :

,

де - k-й вектор матриці пояснювальних змінних; - j-й вектор цієї матриці пояснювальних змінних , .

Перша умова, здавалося б, є очевидною. Адже коли математичне сподівання залишків не дорівнює нулю, то це означає, що існує систематичний вплив на залежну змінну, а до модельної специфікації не введено всіх основних незалежних змінних. Якщо ця передумова не виконується, то йдеться про помилку специфікації.

Зауважимо, що коли економетрична модель має вільний член, то майже завжди за рахунок його значення можна скоригувати рівняння так, щоб математичне сподівання залишків дорівнювало нулю. Отже, для таких моделей перша умова практично виконуватиметься завжди.

Друга умова передбачає наявність сталої дисперсії залишків. Цю властивість називають гомоскедастичністю. Проте вона може виконуватись лише тоді, коли залишки є помилками вимірювання. Якщо залишки акумулюють загальний вплив змінних, які не враховані в моделі, то звичайно дисперсія залишків не може бути сталою величиною, вона змінюється для окремих груп спостережень. У такому разі йдеться про явище гетероскедастичності, яке впливає на методи оцінювання параметрів.

Третя умова передбачає незалежність між залишками і пояснювальними змінними, яка порушується насамперед тоді, коли економетрична модель будується на базі одночасових структурних рівнянь або має лагові змінні. Тоді для оцінювання параметрів моделі використовуються, як правило, дво- або трикроковий метод найменших квадратів.

Четверта умова означає, що всі пояснювальні змінні, які входять до економетричної моделі, мають бути незалежними між собою. Проте очевидно, що в економіці дуже важко вирізнити такий масив незалежних (пояснювальних) змінних, які були б зовсім непов’язані між собою. Тоді щоразу необхідно з’ясовувати, чи не впливатиме залежність пояснювальних змінних на оцінку параметрів моделі.

Це явище називають мультиколінеарністю змінних, що призводить до ненадійності оцінки параметрів моделі, робить їх чутливими до вибраної специфікації моделі та до конкретного набору даних. Знижується рівень довіри до результатів верифікації моделей з допомогою 1МНК. Отже, це явище з усіх точок зору є дуже небажаним. Але воно досить поширене. Далі розглянемо методи виявлення мультиколінеарності і способи її врахування з допомогою специфікації моделі чи спеціальних методів оцінювання параметрів.