21. Нормальное распределение

Нормальное распределение – наиболее часто встречающийся вид распределения. С ним приходится встречаться при анализе погрешностей измерений, контроле технологических процессов и режимов, а также при анализе и прогнозировании различных явлений в биологии, медицине и других областях знаний.

Термин «нормальное распределение» применяется в условном смысле как общепринятый в литературе, хотя и не совсем удачный. Так, утверждение, что какой-то признак подчиняется нормальному закону распределения, вовсе не означает наличие каких-либо незыблемых норм, якобы лежащих в основе явления, отражением которого является рассматриваемый признак, а подчинение другим законам распределения не означает какую-то анормальность данного явления.

Главная особенность нормального распределения состоит в том, что оно является предельным, к которому приближаются другие распределения. Нормальное распределение впервые открыто Муавром в 1733 году. Нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины. Плотность нормального закона распределения имеет вид .

Математическое ожидание для нормального закона распределения равно . Дисперсия равна .

Основные свойства нормального распределения.

1. Функция плотности распределения определена на всей числовой оси Ох, то есть каждому значению х соответствует вполне определённое значение функции.

2. При всех значениях х (как положительных, так и отрицательных) функция плотности принимает положительные значения, то есть нормальная кривая расположена над осью Ох.

3. Предел функции плотности при неограниченном возрастании х равен нулю, .

4. Функция плотности нормального распределения в точке имеет максимум .

5. График функции плотности симметричен относительно прямой .

6. Кривая распределения имеет две точки перегиба с координатами и .

7. Мода и медиана нормального распределения совпадают с математическим ожиданием а.

8. Форма нормальной кривой не изменяется при изменении параметра а.

9. Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю.

Очевидна важность вычисления этих коэффициентов для эмпирических рядов распределения, так как они характеризуют скошеннность и крутость данного ряда по сравнению с нормальным.

Вероятность попадания в интервал находится по формуле , где нечётная табулированная функция.

Определим вероятность того, что нормально распределённая случайная величина отклоняется от своего математического ожидания на величину, меньшую , то есть найдём вероятность осуществления неравенства , или вероятность двойного неравенства . Подставляя в формулу, получим

Выразив отклонение случайной величины Х в долях среднего квадратического отклонения, то есть положив в последнем равенстве, получим .

Тогда при получим ,

при получим ,

при получим .

Из последнего неравенства следует, что практически рассеяние нормально распределённой случайной величины заключено на участке . Вероятность того, что случайная величина не попадёт на этот участок, очень мала, а именно равна 0,0027, то есть это событие может произойти лишь в трёх случаях из 1000. Такие события можно считать практически невозможными. На приведённых рассуждениях основано правило трёх сигм, которое формулируется следующим образом: если случайная величина имеет нормальное распределение, то отклонение этой величины от математического ожидания по абсолютной величине не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Пример 28. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение её контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием . Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

Решение. Рассмотрим случайную величину Х - отклонение размера от проектного. Деталь будет признана годной, если случайная величина принадлежит интервалу . Вероятность изготовления годной детали найдём по формуле . Следовательно, процент годных деталей, изготавливаемых автоматом, равен 95,44%.