30. Графическое изображение вариационного ряда.

Графическое изображение вариационного ряда позволяет представить в наглядной форме закономерности варьирования значений признака. Наиболее широко используются следующие виды графического изображения вариационных рядов: полигон, гистограмма, кумулятивная кривая.

Полигон, как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда. Для его построения в прямоугольной системе координат наносят точки с координатами , где -вариант, -соответствующая ему частота. Иногда вместо точек строят точки . Затем эти точки последовательно соединяют отрезками в порядке возрастания . Полученная линия носит название полигон частот или полигон относительных частот. Иногда интервальный ряд изображают с помощью полигона. В этом случае интервалы заменяют их серединными значениями и к ним относят интервальные частоты. Для полученного дискретного ряда строят полигон.

Гистограмма служит для изображения только интервального вариационного ряда. Для её построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают отрезки, изображающие интервалы варьирования, и на них строят прямоугольники с высотами, равными частотам (или частостям) соответствующего интервала. В результате получают ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, которую называют гистограммой.

Кумулятивная кривая (кривая накопленных частот или накопленных частостей) строится следующим образом. Если вариационный ряд дискретный, то в прямоугольной системе координат строят точки с координатами , где x_i- вариант, - соответствующая накопленная частота. Иногда вместо точек строят точки . Полученные точки соединяют отрезками.

Если вариационный ряд интервальный, то по оси абсцисс откладывают интервалы. Верхним границам интервалов соответствуют накопленные частоты (или накопленные частости); нижней границе первого интервала – накопленная частота, равная нулю. Построив кумулятивную кривую, можно приблизительно установить число наблюдений (или их долю в общем количестве наблюдений), в которых признак принял значения, меньшие заданного. Иногда кумулятивную кривую называют кумулятой.

Пример 34. Построить полигон частот, гистограмму, кумуляту для интервального вариационного ряда.

Интервалы	4 - 8	8 - 12	12 -16	16 - 20	20 –24	24 -28
Частоты	4	6	12	14	8	6

Решение. Построим полигон частот. Вынесем на координатную плоскость точки , где - середины соответствующих интервалов, то есть точки . Соединив их ломаной кривой, получим полигон частот.

Для построения гистограммы отложим на оси абсцисс интервалы варьирования и на них как на основаниях построим прямоугольники высотами, равными соответствующим частотам.

Для построения кумулятивной кривой отложим на координатной плоскости точки (4;0), (8;4), (12;10), (16;22), (20;36), (24;44), (28;45) и соединим их ломаной линией, получим кумуляту.

31. Эмпирическая функция распределения

Эмпирической функцией распределения случайной величины Х называют функцию , определяющую для каждого значения х частость события : , где п_х – число вариантов х_i, меньших х; п – объём выборки.

Эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами интегральной функции распределения. Действительно, из определения эмпирической функции распределения следует, что:

1. значения эмпирической функции распределения принадлежат отрезку ;

2. - неубывающая функция;

3. если х₁ - наименьшее, а х_п – наибольшее наблюденное значение, то при и при .

Основное значение эмпирической функции распределения состоит в том, что она используется в качестве оценки функции распределения .

Пример 35. Построить эмпирическую функцию распределения для вариационного ряда

Варианты	6	10	14	18
Частота	4	8	6	2

Решение. Согласно определению эмпирическая функция распределения имеет вид

И её график имеет вид