19. Начальные и центральные моменты

О.1. Начальным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины X^k, .

Начальный момент для дискретной случайной величины .

Начальный момент для непрерывной случайной величины .

О.2. Центральным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины , .

Центральный момент для дискретной случайной величины .

Центральный момент для непрерывной случайной величины .

Соотношения между начальными и центральными моментами

Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание , а центральный момент второго порядка дисперсию случайной величины .

О.3. Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой скошенности или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии) .

О.4. Нормированный центральный момент четвёртого порядка служит характеристикой островершинности или плосковершинности распределения (эксцесс), .

Пример 26. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Решение. Площадь, ограниченная плотностью распределения, численно равна . Учитывая, что эта площадь должна быть равна единице, находим .

Найдём начальные моменты.

Найдём центральные моменты.

Тогда математическое ожидание равно , дисперсия равна . Асимметрия и эксцесс .

20. Равномерное распределение

О.1. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на интервале , если на этом интервале плотность распределения постоянна, а вне его равна нулю,

где с-const.

Найдём значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице и все значения случайной величины принадлежат интервалу , то должно выполняться равенство , или , отсюда

.

Следовательно, плотность распределения можно записать в виде

Интегральная функция распределения имеет вид

Определим основные числовые характеристики случайной величины, имеющей равномерное распределение. Математическое ожидание .

В силу симметричности распределения медиана совпадает с математическим ожиданием . Моды равномерное распределение не имеет. Дисперсия равномерного распределения равна . В силу симметричности коэффициент асимметрии равен нулю. Коэффициент эксцесса равен .

Пример 27. Цена деления амперметра равна 0,1 А. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка, превышающая 0,02А. Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения , где - длина интервала, в котором заключены возможные значения, вне интервала . В рассматриваемом примере длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, равна 0,1, поэтому . Ошибка отсчёта превысит 0,02, если она будет заключена в интервале . По формуле получим

. Математическое ожидание равно . Дисперсия равна .