Свойства эмпирической дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) на одно и то же число, то дисперсия не изменится.

3. Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) в одно и то же число k раз, то дисперсия уменьшится (увеличится) в k² раз.

4. Эмпирическая дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов наблюдений и квадратом средней арифметической .

Пример 38. Найти эмпирическую дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение для следующего интервального вариационного ряда

Интервалы	3 – 7	7 - 11	11 - 15	15 - 19	19 - 23	23 – 27
Частоты	6	9	11	12	8	4

Решение. Эмпирическую дисперсию найдём по формуле и где - середины интервалов

- соответствующая частота, тогда

35. Эмпирические центральные и начальные моменты

Средняя арифметическая и дисперсия вариационного ряда являются частными случаями более общего понятия о моментах вариационного ряда.

О.1. Эмпирическим начальным моментом порядка k называют взвешенную среднюю арифметическую k-х степеней вариантов .

О.2. Эмпирическим центральным моментом порядка k называют взвешенную среднюю арифметическую k-х степеней отклонений вариантов от их средней арифметической .

Эмпирический центральный момент нулевого порядка равен .

Эмпирический центральный момент первого порядка равен .

Эмпирический центральный момент второго порядка равен .

Эмпирический центральный момент третьего порядка равен .

Эмпирический центральный момент четвёртого порядка равен .

Рассмотрим свойства центральных моментов, которые позволяют значительно упростить их вычисление.

1. Если все варианты уменьшить (увеличить) на одно и то же число, то центральный момент k-го порядка не изменится.

2. Если все варианты уменьшить (увеличить) в одно и то же число q раз, то центральный момент k-го порядка уменьшится (увеличится) в раз.

36. Эмпирические асимметрия и эксцесс

Эмпирическим коэффициентом асимметрии называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения .

Если полигон вариационного ряда скошен, то есть одна из его ветвей, начиная от вершины, зримо длиннее другой, то такой ряд называют асимметричным. Если в вариационном ряду преобладают варианты, меньшие , то эмпирический коэффициент асимметрии отрицателен, и в этом случае имеет место левосторонняя асимметрия. Если же в вариационном ряду преобладают варианты, большие , то эмпирический коэффициент асимметрии положителен, и в этом случае имеет место правосторонняя асимметрия. При левосторонней асимметрии левая ветвь длиннее правой. При правосторонней, более длинной является правая ветвь.

Эмпирический коэффициент асимметрии не имеет ни верхней, ни нижней границы, что снижает его ценность как меры асимметрии. Практически коэффициент асимметрии редко бывает особенно велик, а для умеренно асимметричных рядов он обычно меньше единицы.

Эмпирическим эксцессом или коэффициентом крутости называют уменьшенное на три единицы отношение центрального момента четвёртого порядка к четвёртой степени среднего квадратического отклонения: .

За стандартное значение эксцесса принимают нуль-эксцесс нормальной кривой распределения. Кривые, у которых эксцесс отрицательный, по сравнению с нормальной менее крутые, имеют более плоскую вершину и называются «плосковершинными». Кривые с положительным эксцессом более крутые по сравнению с нормальной кривой, имеют более острую вершину и называются «островершинными».

Т. Коэффициенты асимметрии и эксцесса не зависят от выбора начало отсчёта и единицы измерения, то есть для любых постоянных и b, , .

Доказательство. По свойствам эмпирических центральных моментов имеем и .