48. Доверительный интервал для дисперсии

Пусть случайная величина Х распределена нормально. Требуется построить доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности либо по выборочной дисперсии , либо по . То есть два случая: 1) математическое ожидание генеральной совокупности известно, 2) математическое ожидание генеральной совокупности неизвестно.

Построение доверительного интервала для дисперсии основывается на том, что случайная величина имеет распределение с степенями свободы, величина имеет распределение с степенями свободы.

Подробно рассмотрим построение доверительного интервала для второго случая, так как именно он наиболее часто встречается на практике. Итак, для выбранной вероятности , учитывая, что имеет распределение с степенями свободы, можно записать . Далее по таблице -распределения (см. приложение таб. 4) нужно выбрать два значения и , чтобы площадь, заключённая под дифференциальной функцией распределения между и , была равна . Обычно и выбирают такими, чтобы . Так как таблица содержит то .

Отсюда . Преобразуем двойное неравенство . Запишем неравенство, обратное данному, тогда знаки неравенства изменятся на противоположные или . Умножая обе части неравенства на положительное число , отличное от нуля, окончательно получаем доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности .

Пример 45. Построить доверительный интервал с вероятностью для дисперсии генеральной совокупности случайной величины Х, распределённой нормально, если .

Решение. Доверительная вероятность . По таблице (см. приложение табл. 4) находим для значение , для значение . Тогда доверительный интервал имеет вид или . Для оценки среднего квадратического отклонения доверительный интервал или .

49. Понятие статистической гипотезы

Общая постановка задачи проверки гипотез

Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности, проверяемое по выборке. Статистические гипотезы классифицируются на гипотезы о законах распределения и гипотезы о параметрах распределения.

О.1. Статистическая гипотеза называется непараметрической, если в ней сформулировано предположение относительно функции распределения.

О.2. Статистическая гипотеза называется параметрической, если в ней сформулировано предположение относительно значений параметров функции распределения известного вида.

Наиболее полное и безошибочное суждение относительно истинности такого вида гипотез можно было бы сделать при исследовании всей генеральной совокупности. Однако на практике сплошное исследование по ряду причин провести невозможно. Таким образом, суждения об истинности (ложности) статистических гипотез относительно вида функции распределения генеральной совокупности или о значениях параметров распределения известного вида принимаются на основании выборки объёма . Процесс использования выборки для проверки истинности (ложности) статистических гипотез называется статистическим доказательством истинности (ложности) выдвинутой гипотезы. Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают одну или несколько альтернативных (конкурирующих) гипотез. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то её место занимает конкурирующая гипотеза. С этой точки зрения статистические гипотезы подразделяются на нулевые и альтернативные.

О.3. Нулевой гипотезой называют основную (выдвинутую) гипотезу. Нулевую гипотезу обозначают символом . Обычно нулевые гипотезы утверждают, что различие между сравниваемыми величинами (параметрами или функциями распределения) отсутствует, а наблюдаемое отклонение объясняется лишь случайными колебаниями выборки.

О.4. Альтернативной называется гипотеза, конкурирующая с нулевой гипотезой в том смысле, что если нулевая гипотеза отвергается, то принимается альтернативная. Альтернативную гипотезу обозначают символом .

О.5. Параметрическая гипотеза называется простой, если она содержит только одно предположение относительно параметра.

О.6. Параметрическая гипотеза называется сложной, если она состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Проверка статистических гипотез осуществляется на основе данных выборки. Для этого используют специальным образом подобранную случайную величину (выборочную статистику), являющуюся функцией наблюдённых значений, точное или приближённое распределение которой известно.

О.7.Статистическим критерием (тестом) называют случайную величину К, с помощью которой принимаются решения о принятии или отвержении выдвинутой нулевой гипотезы.

Для проверки нулевых гипотез по выборочным данным вычисляют частные значения входящих в критерий величин и, таким образом, получают частное (наблюдаемое) значение критерия.

О.8. Проверка гипотезы с помощью статистического критерия значимости есть правило отклонения нулевой гипотезы, заключающееся в разбиении области возможных значений К на две непересекающиеся подобласти, причём нулевая гипотеза отвергается, если наблюдаемое значение критерия К принадлежит критической подобласти, и считается согласующейся с опытом, если наблюдаемое значение критерия К не принадлежит критической подобласти.