33. Медиана и мода

Наряду со средними величинами в качестве описательных характеристик вариационного ряда применяют медиану и моду.

О.1. Медианой называют значение признака, приходящее на середину ранжированного ряда наблюдений.

Пусть проведено нечётное число наблюдений, то есть , и результаты наблюдений проранжированы и выписаны в следующий ряд . Здесь - значение признака, занявшее i-е порядковое место в ранжированом ряду. На середину ряда приходится значение . Следовательно: .

Если проведено чётное число наблюдений, то есть , то на середину ранжированного ряда приходятся значения и . В этом случае за медиану принимают среднюю арифметическую значений и , то есть .

Для интервального вариационного ряда медиана определяется по формуле или , где - начало медианного интервала, то есть такого, которому соответствует первая из накопленных частот (накопленных частостей), большая или равная половине всех наблюдений ; - частота (частость), накопленная к началу медианного интервала; - частота (частость) медианного интервала.

О.2. Модой называют такое значение признака, которое наблюдалось наибольшее число раз. Нахождение моды для дискретного вариационного ряда не требует каких-либо вычислений, так как ей является вариант, которому соответствует наибольшая частота.

В случае интервального вариационного ряда мода вычисляется по следующей формуле:

или ,

где - начало модального интервала, то есть такого, которому соответствует наибольшая частота (частость); - частота (частость) модального интервала; - частота (частость) интервала, предшествующего модальному; - частота (частость) интервала, следующего за модальным.

Моду используют в случаях, когда нужно ответить на вопрос, какой товар имеет наибольший спрос, каковы преобладающие в данный момент уровни производительности труда, себестоимости. Модальные производительность и себестоимость помогают вскрыть ресурсы, имеющиеся в экономике.

Пример 37. Вычислить моду и медиану для интервального ряда

Интервалы	3 - 7	7 - 11	11 - 15	15 - 19	19 - 23	23 – 27
Частоты	6	9	11	12	8	4

Решение. Найдём объём выборки по формуле , или . Вычислим накопленные частоты

, следовательно, медианным является интервал . Тогда , и .

Модальным является интервал , следовательно, , . Тогда .

34. Показатели вариации

Средние величины, характеризуя вариационный ряд числом, не отражают изменчивости наблюдавшихся значений признака, то есть вариацию. Простейшим показателем вариации является вариационный размах , равный разности между наибольшим и наименьшим вариантами: .

Вариационный размах – приближённый показатель вариации, так как почти не зависит от изменения вариантов, а крайние варианты которые используются для его вычисления, как правило, ненадёжны.

Более содержательными являются меры рассеяния наблюдений вокруг средних величин. Средняя арифметическая является основным видом средних, поэтому ограничимся рассмотрением мер рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической.

Средним линейным отклонением называют среднюю арифметическую абсолютных величин отклонений результатов наблюдений от их средней арифметической .

Эмпирической дисперсией называют среднюю арифметическую квадратов отклонений результатов наблюдений от их средней арифметической . Если по результатам наблюдений построен вариационный ряд, то эмпирическая дисперсия .

Вместо эмпирической дисперсии в качестве меры рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической часто используют эмпирическое среднее квадратическое отклонение, равное арифметическому значению корня квадратного из дисперсии и имеющее ту же размерность, что и значения признака. Для вариационного ряда среднее квадратическое отклонение:

.