54. Проверка гипотез о законе распределения

Критерий согласия (Пирсона)

До сих пор мы рассматривали гипотезы, относящиеся к отдельным параметрам распределения случайной величины, причём закон распределения предполагался известным. Однако во многих практических задачах закон распределения случайной величины неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу о том, что случайная величина подчиняется закону распределения . Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из п независимых наблюдений над случайной величиной . По выборке можно построить эмпирическое распределение исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического и теоретического распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины - критерия согласия. Существует несколько критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Критерий согласия Пирсона - наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения.

Рассмотрим этот критерий. Разобьём всю область изменения на интервалов и подсчитаем количество элементов , попавших в каждый из интервалов . Предполагая известным теоретический закон распределения , всегда можно определить (вероятность попадания случайной величины в интервал ), тогда теоретические частоты можно рассчитать по формуле . Если эмпирические частоты сильно отличаются от теоретических, то проверяемую гипотезу следует отвергнуть, в противном случае - принять.

Сформулируем критерий, который бы характеризовал степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами. В литературе по математической статистике доказывается, что статистика имеет распределение с степенями свободы. Здесь - число параметров распределения . Правило применения критерия сводится к следующему. Рассчитав теоретические частоты и вычислив значение , затем выбрав уровень значимости критерия , по таблице находим . Если , то гипотезу отвергают, если , то гипотезу принимают или, другими словами нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что генеральная совокупность подчинена закону распределения . В заключение отметим, что необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов по меньшей мере 5-10 наблюдений. Если количество наблюдений мало, то нужно объединить интервалы, содержащие частоты менее 5.

Пример 48. На телефонной станции производились наблюдения над числом неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1; 4; 3; 3; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2; 2; 1; 1; 5. Определить выборочную среднюю и дисперсию неправильных соединений в минуту и проверить выполнение основного условия для распределения Пуассона . Найти теоретическое распределение Пуассона и проверить степень согласия теоретического и эмпирического распределений по критерию Пирсона при уровне значимости .

	0	1	2	3	4	5	6	7
	8	17	16	10	6	2	0	1

Решение. Упорядочим результаты наблюдений, записав их в таблицу:

Найдём . Вычислим выборочную дисперсию по формуле , где , тогда . Необходимое условие для распределения Пуассона практически выполняется. Запишем теоретический закон распределения Пуассона, используя вместо математического ожидания его оценку : . Найдём теоретические частоты:

;

;

;

.

Так как последних три интервала содержат частоты менее пяти, то объединим их с предыдущим. Получим

	8	17	16	10	9
	8,1	16,2	16,2	10,6	8,5

Вычислим значение

Примем уровень значимости . Количество интервалов после объединения . По выборке вычислен один параметр, которым определяется закон Пирсона - математическое ожидание, следовательно: . Поэтому число степеней свободы . По таблице (см. приложение табл.4) находим . Имеем 7,8>0,11, следовательно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу или, другими словами, при уровне значимости можно считать, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона.

Пример 49. Проверить гипотезу о нормальном распределении для следующего интервального ряда:

	10-14	14-18	18-22	22-26	26-30	30-34
	5	8	14	12	8	3

Решение. Найдём выборочное среднее по формуле

и исправленную дисперсию по формуле , где

Найдем теоретические частоты по формуле , тогда

Так как последний и первый интервалы содержат частоты менее пяти, то объединим их с соседними. Получим

	13	14	12	11
	12,1	13,7	12,9	9,8

Найдём по формуле .

Число степеней свободы равно 4-3=1, следовательно, при уровне значимости имеем по таблице . Так как наблюдаемое значение меньше критического то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при заданном уровне значимости нет оснований отвергнуть.