Стереометрия.

16.Аксиоматика Вейля-Рашевского.

102) Аксиоматический метод. Независимость, полнота и непротиворечивость системы аксиом.

Изучение любой теории начинается с некоторых первоначальных предложений, из которых путём рассуждений делаются дальнейшие выводы. Этот метод называется аксиоматическим.

Независимость заключается в том, что ни одна аксиома не может быть получена, как следствие других (не может быть доказана, как теорема)

Полнота заключается в том, что система аксиом должна позволять получать любое утверждение данной теории.

Непротиворечивость заключается в том, что не какие две аксиомы не должны вступать в противоречие.

103) Аксиоматика Г. Вейля - П.К.Рашевского построения геометрии. Основные группы аксиом.

Аксиоматика Г. Вейля - П.К. Рашевского: число, точка и вектор - понятия не требующее определения.

Основные понятия: точка, число и вектор.

Группы аксиом: 1) аксиомы связи между точками и векторами;

2) аксиомы умножения вектора на число;

3) аксиомы размерности;

4) аксиомы скалярного произведения.

104) Аксиомы связи. Правило треугольника сложения векторов. Доказать теорему о независимости суммы векторов от начальной точки.

АКС.1: Существует хотя бы одна точка.

АКС.2: Каждая упорядоченная пара точек определяет вектор.

АКС.3: Для каждой точка А и вектора а существует единственная точка В такая что, АВ=а.

АКС.4: Если векторы АВ и СD равны, то АС=ВD.

Т: вектор с=а+b не зависит от выбора точки приложения вектора а.

Доказывается через аксиому 4.

105) Доказать коммутативность сложения векторов. Правило параллелограмма сложения векторов.

АВ+ВС=ВС+АВ; (Для доказательства рисуется параллелограмм и одна его сторона обзывается вектором а, а другая b, далее показывается что диагональ этого параллелограмма будет вектором-суммы b+a и a+b)

Правило параллелограмма все знают.

106) Доказать ассоциативность сложения векторов и правило многоугольника сложения векторов.

(a+b)+c=a+(b+c);

107) Правило вычитания векторов. Доказать существование разности.

Для получения вектора-разности векторов а и b надо отложить эти вектора из одной точки и провести вектор из конца второго в конец первого.

108) Аксиомы умножения вектора на число. Доказать теоремы о нулевом и противоположном векторах.

АКС.1: Каждой упорядоченной паре (;а), где , а аV соответствует единственный вектор b=а, называющийся произведением вектора на число.

АКС.2: Умножение вектора на 1 не изменяет вектора.

АКС.3: Умножение вектора на число дистрибутивно относительно числового множителя: (а+b)= а+b

АКС.4: Умножение вектора на число дистрибутивно относительно векторного множителя.

АКС.5: Умножение вектора на число ассоциативно относительно числового множителя.

Т: Произведение нулевого вектора и любого числа равно нулю-вектору. (Для доказательства использовать, что сумма противоположных векторов равна нулю-вектору).

Т: Для любого вектора а вектор -а является противоположным. (Для доказательства использовать, что сумма противоположных векторов равна нулю-вектору).