- •Математический анализ.
- •1.Множества.
- •1) Множество, его характеристическое свойство. Способы задания. Привести примеры.
- •2) Множества: конечные, бесконечные. Отношения включения, универсальное множество. Диаграмма Эйлера-Венна. Привести примеры.
- •2.Общие свойства функций.
- •13) Обратная функция. Необходимое и достаточное условие обратимости. Доказать признак обратимости функции.
- •14) Доказать теорему о графиках взаимно-обратных функций. Отыскание обратных для алгебраических и трансцендентных. Привести примеры.
- •15) Чётные и нечётные функции. Доказать теоремы об их графиках. Доказать арифметические теоремы об указанных функциях. Привести примеры.
- •3.Числовые последовательности и пределы.
- •17) Периодические функции. Доказать арифметические теоремы о периодических функциях. Доказать теорему о периодичности сложной функции от периодической функции. Привести примеры.
- •4.Предел функции.
- •31) Бесконечно малая функция. Доказать теорему о функции, её пределе и бесконечно малой функции.
- •32) Доказать арифметические теоремы о пределах функций:
- •33) Доказать теорему о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций.
- •34) Односторонние пределы. Доказать теорему о связи существования предела функции в точке с существованием односторонних пределов функции.
- •35) Доказать теоремы о единственности предела в точке и о предельном переходе в равенстве двух функций.
- •5.Непрерывность функции в точке.
- •6.Производная функции в точке.
- •7.Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •56) Доказать теорему Роля и теорему Лагранжа о конечном приращении функции. Рассказать о геометрической интерпретации этих теорем.
- •Алгебра.
- •8.Линейная функция.
- •9.Квадратный трёхчлен.
- •10.Комплексные числа.
- •62) Комплексная плоскость. Действия над комплексными числами в декартовой форме.
- •68) Комплексно-сопряжённые числа. Теоремы о сопряжённости суммы и произведения комплексно-сопряжённых чисел.
- •11.Теория многочленов.
- •69) Действия над многочленами. График многочлена. Алгоритм деления многочленов с остатком (алгоритм Евклида).
- •70) Теорема Безу. Следствия.
- •12.Дробно-рациональная функция.
- •76) Правильная и простейшие рациональные дроби. Теорема о представлении рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби. Алгоритм разложения правильной дроби в сумму простейших дробей.
- •13.Степенная и показательная функция.
- •14.Логарифм числа и логарифмическа функция.
- •15.Тригонометрические функции.
- •Стереометрия.
- •16.Аксиоматика Вейля-Рашевского.
- •102) Аксиоматический метод. Независимость, полнота и непротиворечивость системы аксиом.
- •109) Понятие направления. Отношения сонаправленности, противонаправленности и коллинеарности векторов.
- •110) Аксиомы размерности. Два определения линейной зависимости (независимости) векторов. Доказать их эквивалентность.
- •111) Доказать теорему о системе векторов, содержащей линейно зависимую подсистему. Следствия.
- •112) Доказать теорему о подсистеме линейно независимой системы векторов.
- •17.Аффинное пространство.
- •113) Аффинное пространство. Базис. Размерность. Привести примеры аффинных пространств различной размерности.
- •114) Доказать теорему о существовании и единственности разложения вектора по произвольному базису. Координаты векторов.
- •115) Аффинная система координат. Радиус-вектор. Координаты точки. Доказать теорему о координатах векторов.
- •116) Доказать теорему о координатах суммы векторов.
- •117) Аффинное пространство. Доказать теорему о координатах вектора, умноженного на число.
- •18.Метрнческое пространство
- •151) Векторное произведение и коллинеарности векторов. Правые (левые) тройки векторов в декартовой системе.
- •152) Смешанное произведение векторов. Доказать свойства смешанного произведения. Смешанное произведение векторов в декартовой системе координат. Доказать признак компланарности векторов.
- •153) Расстояние между геометрическими фигурами. Вывести формулу дли вычисления расстояния от точки до плоскости.
- •154) Вывести формулу для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми.
151) Векторное произведение и коллинеарности векторов. Правые (левые) тройки векторов в декартовой системе.
Векторное произведение коллинеарных векторов равняется ноль-вектору.
О: Базис, образуемый тройкой векторов, называется правым, если он обладает следующим свойством: если смотреть с конца третьего вектора на 1 и 2 векторы, то для того что бы совместить 1-й вектор со 2-ым, 1-й вектор надо повернуть против часовой стрелки на угол меньший 1800.
152) Смешанное произведение векторов. Доказать свойства смешанного произведения. Смешанное произведение векторов в декартовой системе координат. Доказать признак компланарности векторов.
О: Смешанным произведением трёх векторов называется скалярное произведение одного из них на векторное произведение двух других.
Св-ва: 1) Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах. (V=Sоснh)
2) Если векторы а, B, с заданы координатами в декартовой системе координат, то смешанное произведение этих векторов равно определителю третьего порядка, где каждая строка матрицы представляет собой координаты вектора.
3) Смешанное произведение трёх векторов а, b и с, положительно, если они образуют правый базис и отрицательно если – левый. Равно нулю, если векторы вообще не образуют базиса.
4) Смешанное произведение линейно зависимых векторов равно 0.
Модуль смешанного произведение в ортонормированном базисе равен определителю третьего порядка матрицы, составленной из координат векторов.
Если векторы компланарны, то их смешанное произведение равняется нулю.
153) Расстояние между геометрическими фигурами. Вывести формулу дли вычисления расстояния от точки до плоскости.
Расстояние между геометрическими фигурами – длина общего перпендикуляра.
Расстояние от точки до плоскости это длина высоты нормального треугольника.
154) Вывести формулу для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми.
Не знаю формулу, а принцип Шишкина объясняла.