116) Доказать теорему о координатах суммы векторов.
Т: Координаты суммы двух векторов равны сумм координат этих векторов.
Доказывается сложением векторов, представленных в виде линейной комбинации базисных.
117) Аффинное пространство. Доказать теорему о координатах вектора, умноженного на число.
Аффинным пространство называется мно-во точек и векторов, элементы которого находятся в отношениях, определённых аксиомами откладывания вектора и умножения вектора на число.
Т: Координаты вектора, умноженного на число, равны координатам вектора, умноженным на это число.
Вектор, представляется в виде линейной комбинации базисных векторов, а потом правая и левая часть умножаются на некое число и раскрываются скобки.
118) Доказать теорему о разложении радиус-вектора точки, делящей отрезок в данном отношении.
Доказывается через сложение векторов по правило треугольника.
119) Определение прямой. Вывести векторное уравнение прямой в аффинной системе.
Множество всех точек М, для которых векторы АМ и АВ коллинеарны, называется прямой (АВ).
120) Определение плоскости. Доказать единственность плоскости, проходящей через три точки.
Плоскостью (АВС) называется множество точек М, для которых вектора АВ, АС и АМ линейно зависимы.
АВ и АС называются базисными векторами плоскости.
Если К, Е, Н – различные точки плоскости (АВС), не лежащие на одной прямой, то плоскость (АЕН) совпадает с плоскостью (АВС).
Следствием является то, что через три различные точки проходит только одна плоскость.
121) Базис плоскости. Вывести формулы перехода от одного базиса к другому.
Базис плоскости это два линейно независимых вектора, через которые можно выразить все векторы плоскости.
Для перехода вводится линейная зависимость.
122) Компланарные векторы. Доказать признак компланарности векторов.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельно данной плоскости.
Т: Для того, что бы векторы были компланарны, необходимо и достаточно, что бы они были линейно зависимы.
123) Доказать теорему о прямой, проходящей через две точки плоскости.
Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.
124) Взаимное расположение прямых. Доказать существование и признак параллельных прямых.
Любые две прямые имеют либо одну общую точку, либо не имеют их вообще, либо имеют бесконечное множество общих точек.
Две прямые, лежащие в одной плоскости параллельны тогда и только тогда, когда они не имеют общих точек или совпадают.
125) Взаимное расположение прямых. Доказать существование и признак пересекающихся прямых.
Любые две прямые имеют либо одну общую точку, либо не имеют их вообще, либо имеют бесконечное множество общих точек.
Для того, что бы две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекались необходимо и достаточно, чтобы их направляющее вектора были линейно независимы.
126) Взаимное расположение прямых. Доказать признак скрещивающихся прямых.
Любые две прямые имеют либо одну общую точку, либо не имеют их вообще, либо имеют бесконечное множество общих точек.
О: Две непараллельные прямые, не имеющее общих точек, называются скрещивающимися.
Признак: Для того что бы прямые АВ и СD скрещивались необходимо и достаточно что бы векторы АВ, СD и AD образовывали базис пространства.
127) Взаимное расположение плоскостей. Доказать теорему об общих точках двух плоскостей.
Плоскости или параллельны, или пересекаются.
128) Параллельные плоскости. Признак параллельности плоскостей.
Плоскости называются параллельными, если любой вектор, параллельный одной плоскости, параллелен и другой плоскости.
Признак параллельности плоскостей: для того, чтобы плоскости были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы они имели общий базис.
129) Теорема существования и единственности плоскости, проходящей через точку и параллельно некоторой другой плоскости.
Через каждую точку пространства проходит единственная плоскость, параллельная данной.
130) Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости. Доказать теорему о параллельности линий пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.
Прямая называется параллельной плоскости, если её направляющий вектор параллелен этой плоскости.
Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая параллельна некоторой прямой, принадлежащей плоскости , то она параллельна плоскости .
Т: Плоскость, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую, причём линии их пересечения параллельны.
131) Доказать теорему о параллельности линии пересечения двух пересекающихся плоскостей прямой, параллельной каждой из этих плоскостей.
Попробовать доказать от противного.
132) Пересечение прямой и плоскости. Лемма о пересечении плоскости и пары параллельных прямых.
Прямую и плоскость, которые имеют единственную общую точку, называют пересекающимися.