109) Понятие направления. Отношения сонаправленности, противонаправленности и коллинеарности векторов.
О: Направлением называется множество векторов сонаправленных с данным вектором.
О: Ненулевые вектора а и b называются сонаправленными, если существует такое положительно число что, а= b.
О: Ненулевые вектора а и b называются противонаправленными, если существует такое отрицательное число что, а=b.
О: Сонаправленные и противонаправленные вектора называются коллинеарными или параллельными.
110) Аксиомы размерности. Два определения линейной зависимости (независимости) векторов. Доказать их эквивалентность.
АКС1: Существуют 3 линейно независимых вектора.
АКС2: Любые 4 вектора линейно зависимы.
О: Система векторов называется линейно зависимой, если существует линейная комбинация этих векторов, которая равно 0 и при этом коэффициенты перед векторами тоже были отличны от 0, если такой комбинации не существует, то система векторов называется линейно независимой.
О: Система векторов называется линейно зависимой, если один из векторов представляется линейной комбинацией остальных.
Доказывается очень просто, так как одно следует из другого.
111) Доказать теорему о системе векторов, содержащей линейно зависимую подсистему. Следствия.
Т: Если система векторов имеет линейно зависимую подсистему, то и вся система линейно зависима.
Сл.1: Если система векторов содержит 2 коллинеарных или 2 равных вектора, то она линейно зависима.
Сл.2: Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Сл.3: Если система векторов линейно независима, то любая её подсистема линейно независима.
112) Доказать теорему о подсистеме линейно независимой системы векторов.
Если система векторов линейно независима, то любая её подсистема линейно независима. (Доказывается от противного)
17.Аффинное пространство.
113) Аффинное пространство. Базис. Размерность. Привести примеры аффинных пространств различной размерности.
Аффинным пространство называется мно-во точек и векторов, элементы которого находятся в отношениях, определённых аксиомами откладывания вектора и умножения вектора на число.
Линейно независимая система векторов называется базисом аффинного пространства, если любой вектор этого пространства может быть представлен виде линейной комбинации этих векторов.
Размерность определяется кол-вом векторов, которые могут составлять базис.
прямая, плоскость и пространство.
114) Доказать теорему о существовании и единственности разложения вектора по произвольному базису. Координаты векторов.
Т: Каждый вектор аффинного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базиса и при том только единственным образом.
О: Упорядоченная тройка чисел x,y,z, определяющая разложение вектора по базису называется координатами вектора в этом базисе.
115) Аффинная система координат. Радиус-вектор. Координаты точки. Доказать теорему о координатах векторов.
Совокупность произвольной точки (начала координат) и векторов, е1, е2 и е3, образующих базис называют аффинной системой координат.
Радиус-вектор точки, это вектор, отложенный из начала координат к этой точке.
Упорядоченная тройка чисел (x, y, z), являющаяся координатами радауса-вектора точки А, называется координатами точки а в этом базисе.
Т: Координаты вектора в произвольном базисе равны разности координат точки конци и начала вектора в этом базисе.
