6.Производная функции в точке.

45) Производная, её геометрический смысл. Вывести формулы касательной и нормали к графику функции в точке.

Производной данной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.

Геометрический смысл производной в точке, это тангенс угла наклона касательной к этой точке.

46) Левая и правая производные функции в точке.

47) Бесконечная производная в точке.

48) Доказать арифметические теоремы о производных.

49), 50), 51), 53) Вывести формулу для производной степенной и показательной функций. Вывести формулу для производной логарифмической функции. Вывести производные синуса, косинуса, тангенса, и котангенса. Вывести формулу для производной функции арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

52) Доказать теорему о производной обратной функции.

Пусть функция f(x) имеет обратную функцию и конечную, отличную от нуля производную. Тогда для обратной функции существует производная, равная 1/f’(x).

54) Доказать теорему о производной сложной функции.

Производная сложной функции равна производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента.

7.Основные теоремы дифференциального исчисления.

55) Дать определения максимума и минимума в точке. Доказать необходимое условие экстремума функции в точке (теорему Ферма). Дать определения стационарных и критических точек.

Точка х₀ называется точкой локального минимума (максимума) для функции y=f(x) если найдётся такая окрестность этой точки (х₀-, х₀+), что для любого х(х₀-, х₀+) f(x)f(х₀) (f(x)f(х₀))

Теорема Ферма: Если функция имеет в точке экстремума конечную производную, то эта производная равна нулю.

Стационарные точки – это точки в которых вторая производная равна нулю.

Критические точки это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.

56) Доказать теорему Роля и теорему Лагранжа о конечном приращении функции. Рассказать о геометрической интерпретации этих теорем.

Теорема Роля: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], имеет конечную производную в точке этого отрезка и принимает на концах отрезка равные значения, то между а и b существует хотя бы одна точка с, в которой f’(с)=0.

Теорема Лагранжа: если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет конечную производную в каждой точке, принадлежащей этому отрезку, то между а и b найдется, по крайней мере, одна точка с, в которой f’(с)=(f(b)-f(a))/(b-a).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что если точки (a, f(a)) и (b, f(b)) на графике функции соединить хордой, то на отрезке [a, b] будет лежать точка с, в которой касательная к графику функции будет параллельна хорде. Что бы доказать это достаточно вычислить угловой коэффициент хорды.

Если в формулу Лагранжа вместо а и b подставить x и x+)x, то получим

f(x+)x)-f(x)=f’(x+)x) )x, где [0, 1]

от куда f(x+)x)=f(x)+f’(x+)x) )x

эта формула называется формулой конечных пределов и используется для приближённых вычислений.

58) Выпуклость вниз и выпуклость вверх графика функции в точке. Точки перегиба графика функции.

График имеет выпуклость вверх, если касательная к графику в этой точке находится над графиком. График имеет выпуклость вниз, если касательная в этой точке находится под графиком.

В том случает, если производная в точке равна нулю, а экстремума в этой точке нет, на графике функции будет точка перегиба (точка, в которой касательная к кривой пересекает кривую).

57) Доказать достаточные условия максимума и минимума функции в точке.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке х₀ и имеет производную в некоторой окрестности (х₀-, х₀+) этой точки, тогда:

1. Если производная в левой полуплоскости точки х₀ положительна, а в правой отрицательна, то х₀ – точка максимума.

2. Если производная в левой полуплоскости точки х₀ отрицательна, а в правой положительна, то х₀ – точка минимума.

58) Наибольшее и наименьшее значение функции на числовом множестве.

Если функция на отрезке [a, b] непрерывна и внутри отрезка дифференцируема, то внутри отрезка она имеет наибольшее и наименьшее значение.

61) Сформулировать основные положения схемы исследования и построения графика функции.

1. Найти область определения функции, её точки разрыва и вертикальные асимптоты.

2. Установить такие свойства функции, как чётность, нечётность, периодичность.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат, интервалы знакопостоянства, выяснить поведение функции на концах промежутков области определения.

4. Найти наклонные или горизонтальные асимптоты.

5. Найти точки экстремума, промежутки возрастания и убывания функции.

6. Если требуется, найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости функции.

7. Свести результаты исследования в таблицу и построить график.