11.Теория многочленов.

69) Действия над многочленами. График многочлена. Алгоритм деления многочленов с остатком (алгоритм Евклида).

При сложении многочленов складывают коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Для сложения многочленов существует однозначно определённая обратная операция – вычитание многочленов. При умножении многочленов перемножают каждый одночлен первого сомножителя на каждый одночлен второго, затем приводят подобные члены.

Вот так примерно выглядит график многочлена.

Алгоритм Евклида это деление столбиком.

70) Теорема Безу. Следствия.

Остаток от деления многочлена на (х-α) равен значению многочлена при х=α.

Действительно, в соответствии с алгоритмом деления с остатком многочлена произвольной степени на многочлен первой степени имеем P_n(x)=(x- α)q_n-1(x)+R₀. Здесь остаток R₀ либо нуль, либо какое-либо число (многочлен нулевой степени), подставляя в это равенство х=α, получаем P_n(α)=( α- α)q_n-1(α)+R₀  R₀=P_n(α)

Следствие 1: Если число α является корнем многочлена P_n(x), то этот многочлен без остатка делится на линейный двучлен (x- α)

Следствие 2: Если α₁ и α₂ различные корни многочлена P_n(x), то многочлен делится на квадратный трёхчлен ((x- α₁) (x- α₂)).

Следствие 3: Если α₁, α₂…α_k – попарно различные корни многочлена P_n(x), то этот многочлен без остатка делится на многочлен k-ой степени ((x- α₁) (x- α₂)…(x- α_k))

71) Связь между корнем многочлена и делимостью его на линейные множители. Схема Горнера.

Если число α является корнем многочлена P_n(x), то этот многочлен без остатка делится на линейный двучлен (x- α)

72) Понятие простого и кратного корней многочлена. Доказать теорему о целом и рациональном корнях многочлена с целыми коэффициентами.

Если число α является k-кратным корнем многочлена P_n(x), то α будет корнем кратности k-1 первой производной этого многочлена. Если α – простой корень многочлена P_n(x), то число α не является корнем многочлена P_n’(x).

73) Сформулировать основную теорему алгебры. Следствие о разложении многочлена n-ой степени в произведение n линейных сомножителей.

Основная теорема алгебры: всякий многочлен степени не меньше первой имеет не меньше 1-го корня.

Всякий многочлен P_n(x) не нулевой степени, с любыми числовыми коэффициентами может быть представлен в виде произведения n линейных множителей, причём единственным образом с точностью до порядка расположения.

74) Следствие о количестве корней многочлена n-ой степени.

Всякий многочлен P_n(x) не нулевой степени, с любыми коэффициентами имеет n-корней, в общем случае комплексных, при этом каждый корень подсчитывается столько раз, какова его кратность.

75) Многочлен с действительными коэффициентами. Леммы о комплексно-сопряжённых корнях и о делимости многочлена на квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами. Следствие основной теоремы о разложении многочлена в произведение непереводимых сомножителей.

Многочлен с действительными коэффициентами – это многочлен, у которого все коэффициенты являются действительными числами.

Лемма 1: Если комплексное число α является корнем многочлена P_n(x), то и сопряженное ей число α₁ так же является корнем этого многочлена.

Лемма 2: Если α и α₁ комплексно-сопряженные корни многочлена P_n(x), то это многочлен делится нацело, то этот многочлен делится нацело на неприводимый квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами.

Всякий многочлен P_n(x) не нулевой степени, с любыми числовыми коэффициентами может быть представлен в виде произведения n линейных множителей, причём единственным образом с точностью до порядка расположения.