35) Доказать теоремы о единственности предела в точке и о предельном переходе в равенстве двух функций.

Функция f(x) в точке х=а может иметь только один предел.

Доказательство:

Докажем, что при xa функция имеет два различных предела. Обозначим их А и В, причём АВ. Для определённости будем считать, что В>A. Это означает, что если взять <(B-A)/2, то будет выполняться неравенство A+<B- , и тогда -окрестности точек А и В не будут пересекаться. Однако по определению предела должно существовать такое , что если |x-a|<, то |f(x)-A|< и |f(x)-В|<, а это невозможно. Мы получили противоречие, а значит теорема доказана.

Следствие: Если две функции, f(x) и g(x), равны на некотором множества D, принадлежащем их областям определения, то и их пределы в любой точке аD равны.

36) Доказать теорему о предельном переходе в неравенстве для двух функций.

Если функции f(x) и g(x) при xa имеют пределы и f(x)< g(x), то предел f(x) меньше либо равен пределу g(x).

37) Доказать теорему о «зажатой» функции.

Если тир функции f(x), g(x) и h(x) определены в одной и той же окрестности точки а: |x-a|<, причём f(x)g(x)h(x) и пределы f(x) и h(x) равны А, то и предел g(x) равен А.

38) Доказать первый замечательный предел.

39) Доказать необходимое условие и сформулировать признак существования предела в точке.

Существование и равенство односторонних пределов в этой точке.

40) Доказать теорему о пределе сложной функции.

41) Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентность бесконечно малых функций. Привести примеры эквивалентных бесконечно малых функций: ln(1+x)x при x0; e^x 1+x при x0; cos x x²/2 при x0; (1+x)^a 1+ax при x0.

Бесконечно малые функции h(x) и g(x) при xa называются величинами одного порядка малости, если существует lim _xa h(x)/ g(x)=A0.

Бесконечно малая функция h(x) называется величиной более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой g(x) при xa, если lim _xa h(x)/ g(x)=0.

Бесконечно малая функция h(x) называется величиной более низкого порядка малости по сравнению с бесконечно малой g(x) при xa, если lim _xa h(x)/ g(x)= .

Бесконечно малые функции называются несравнимыми, если предел их отношения не существует.

Бесконечно малые функции называются эквивалентными при xa, если предел их отношения равен 1.

5.Непрерывность функции в точке.

42) Дать определение непрерывности функции в точке. Доказать арифметические теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций.

Функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, если lim _{x х0} =f(x₀)

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то так же непрерывны в этой точке функции f(x)+ g(x), f(x)/ g(x) при g(x)0, f(x) ^. g(x).

Если f(x) и g(x) – непрерывные функции, то функция f(g(x)), так же непрерывна.

43) дать второе определение непрерывности функции в точке. Доказать эквивалентность этих определений.

Функция f(x) непрерывна в точке х₀, если приращение функции в этой точке является бесконечно малой величиной при приращении аргумента, стремящемся к нулю.

44) Дать классификацию точек разрыва (первого и второго рода).

Тип разрыва, когда в точке х₀ имеются (конечные) правый и левый переделы функции, называют разрывом первого рода. В противном случае говорят, что х₀ – разрыв второго рода.