2.7 Метод Коши

. (2.23)

Пусть - система решений соответствующего однородного уравнения L(z(x))=0.

Построим решения для Н, У.:

. (2.24)

Пусть , - параметр. имеет (n-1) частных производных по x.

. (2.25)

При этом:

. (2.26)

. (2.27)

Рассмотрим выражение

. (2.28)

Покажем, что (2.28) частное решение (2.23) с нулевыми начальными условиями до (n-1) порядка включительно:

(2.29)

Производные вычислены от y₁ по выражению:

;

и с учётом (2.27) получим (2.29):

Подставим y₁ и его производные из (2.29) в (2.23), внесём под интегралы, и тогда получим:

.

С учётом (2.25) . Т.е. y₁(x) – частное решение (2.23).

Тогда общее решение не однородного уравнения будет:

,

где z(x) общее решение соответствующего однородного уравнения.

Рассмотрим не однородное уравнение (при нулевых начальных условиях), у которого правая часть задана в виде дельта функции Дирака.

(2.30)

Эта функция обладает следующими свойствами:

; .

Задача (2.30) (на основании свойств дельта функции) эквивалентна задаче решения соответствующего однородного уравнения с Н.У.частного вида:

(2.31)

Тогда, для заданного α, частное решение по (2.28) будет:

При изменении i от 1 до n, с учётом суперпозиции решений, запишем частное решение не однородного уравнения, если правая часть уравнения f(x):

Для построения весовой функции , необходимо решить задачу Коши для уравнения (2.25). При нахождении произвольных коэффициентов заменим на для независимой переменной. Тогда общее решение (2.25) будет

. - функции, образующие ФСР.

Пример. .

Общее решение соответствующего однородного уравнения будет-

.

Решение задачи Коши для Н.У. y=0; y’=1; x0=α.

Тогда:

Для f(x)=1 частное решение будет:

.

Общее решение не однородного уравнения будет:

Контрольные вопросы

1. Какой общий вид имеет линейное уравнение n-го порядка?

2. Какие решения линейного уравнения называются линейно независимыми?

3. Что такое фундаментальная система решений?

4. Какое условие является необходимым и достаточным для того, что бы данная система решений была фундаментальной?

5. Как построить общее решение однородного линейного уравнения, если известна фундаментальная система решений?

6. Как решить задачу Коши при помощи формулы общего решения?

7. Как найти общее решение неоднородного линейного уравнения, если известно одно частное решение этого уравнения и общее решение соответствующего однородного уравнения?

8. В чём состоит метод Лагранжа, используемый для нахождения общего решения неоднородного уравнения?

9. В каких случаях и в каком виде может быть записано частное решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами при использовании метода неопределённых коэффициентов?

10. Как строится фундаментальная система решений в зависимости от вида характеристических чисел (действительные разные; комплексные сопряжённые; кратные).