4.7 Уравнение Ван – Дер – Поля

Это уравнение служит математической моделью лампового генератора на триоде в случае кубической вольт – амперной характеристики (зависимости анодного тока от приложенного напряжения) лампы.

Механизм возникновения автоколебаний следующий: в цепи RLC (колебательный контур) возникающие колебания управляют анодным током лампы, который усиливает эти колебания из – за наличия в системе положительной обратной связи.

С ростом амплитуды колебаний из – за нелинейной зависимости энергия, поступающая в колебательный контур от батареи, уравновешивается потерями на активном сопротивлении R. Т.е. наступает стационарный режим – устанавливаются колебания с постоянной амплитудой и частотой. В данной работе не приводится схема генератора, а даётся математическая модель, описывающая изменение напряжения на сетке лампы во времени, в коэффициенты которой в явном виде входят параметры элементов схемы.

УРАВНЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА.

:

M – взаимоиндукция; крутизна; R- активное сопротивление колебательного контура, L- индуктивность катушки, C- ёмкость конденсатора.

–аппроксимация анодного тока (вольт- амперная характеристика). Используя подстановки:

; ;

. –характеризует самовозбуждение, амплитуду автоколебаний. Используя замену переменных: ; получим уравнение в нормированном форме, которое и принято называть уравнением ВАН – ДЕР – ПОЛЯ.

(4.12)

Преобразуем полученное уравнение (4.12) в систему не линейных ДУ. Введём обозначения: Тогда:

Линеаризуем полученную систему.

.

Напомним, что параметры (a,b,c,d) это частные производные от правых частей полученной нелинейной системы дифференциальных уравнений. Тогда матрица линеаризованной вблизи точки (0,0) системы будет: .

неустойчивый фокус.

неустойчивый узел.

Результаты численного интегрирования полученной системы ДУ, при , приведены на Рис.32(a,b) (решения показаны на фазовой плоскости и в зависимости от t).

На Рис.32(c,d) приведены решения этих же уравнений для больших зн6ачений μ. При этом хорошо видно, что тип решения (устойчивый предельный цикл) сохранился, но вид траекторий сильно искажён.

Рис.32. Решение уравнения Ван-Дер-Поля

4.8 Приближённый метод исследования предельных циклов

Систему не линейных ДУ обычно можно привести к виду:

; . (4.13)

На интервале Т (период) для малых ε можно записать аппроксимацию решения (4.13), как линейного осциллятора:

(4.14)

Оценим изменение энергии в колебательном контуре вдоль фазовой траектории:

– энергия линейного осциллятора. Тогда будет:

после подставки значения из системы (4.13).Тогда изменение энергии за период будет:

.

Если амплитуда колебаний растёт, а если меньше, то убывает.

Уравнения Ван-Дер-Поля, запишем как систему ДУ:

.

Тогда . Используя (4.14) получим:

.

после интегрирования и подставке пределов.

В точке, где =0 – предельный цикл. Если , то он устойчивый, если , то не устойчивый.

В нашем случае, =0, при А=2.

Тогда в этой точке производная , т.е. предельный цикл уравнения (4.12) устойчивый.