4.5 Уравнения Гамильтона
Для n систем второго порядка (наиболее наглядно это для уравнения движения, где n=1- число уравнений 2-го порядка), после преобразования можно получить эквивалентную систему ДУ из 2n уравнений первого порядка. Эта запись будет в форме Гамильтона.
Обозначим
.
Получим фазовые переменные (x,p) и система для n=1 будет:
.
(4.10)
-
гамильтониан системы.
В общем случае получается из функции Лагранжа (для механической системы это разница между кинетической и потенциальной энергией) с помощью преобразования Лежандра. Для случая механического движения
.
(4.11)
Например
.
Тогда получим систему уравнений для линейного осциллятора:
.
В
общем случае
.
Тогда (с учётом выражения (4.10)):
.
Если
H
не зависит от t
явно, то
.
Тогда H(x,p)=const
– первый интеграл и системы Гамльтона
консервативны. Для механических систем
H=T+U
– полная энергия.
Теорема Лиувиля
В
Гамильтоновой системе сохраняется
фазовый объём. Это часть фазового
пространства, где определены начальные
условия для всех фазовых координат в
момент
и при этом этот объём не изменяется для
всех t.
В частном случае (n=2)
речь идёт о площади. Рис.27.
Рис.27. Сохранение фазовой площади
.
.
.
Область интегрирования изменяется по t. Перейдём
c помощью якобиана: (якобиан (D) аналитический признак линейной независимости функций).
.
.
.
.
=
.
Таким
образом
- интегральный инвариант гамильтоновой
системы.
Примеры.
1.
.
.
.
Рис.28. Трансформация элемента фазовой плоскости для примера 1
Пример 2.
Рассмотрим
подробнее процесс трансформации площади
для
второго примера. На Рис.29 видно, что
точки (1,2) лежат на сепаратрисе, (3,4) на
замкнутой фазовой траектории. С ростом
t
точки (1,2), двигаясь по сепаратрисе,
попадают в особую (стационарную) точку
типа седло и остаются в ней. Точки (3,4)
продолжают движение вдоль замкнутой
фазовой траектории. В результате
начальная форма
сильно
искажается, при этом величина площади
остаётся неизменной. Рис.30.
Рис.29. Элемент фазовой плоскости для примера 2 при t=0
Рис.30. Трансформация элемента фазовой плоскости для примера 2
4.6 Предельные циклы и автоколебания
В консервативных системах особые точки центр и седло. Фазовые траектории вблизи точки «центр» замкнутые и заполняют целые области на фазовой плоскости.
Существуют ли замкнутые траектории в неконсервативной системе?
Пример.
.
Это координаты особой точки. После
линеаризации системы в близи точки
(0,0), получим характеристический полином
и характеристические числа будут
.
Особая точка получается типа неустойчивый
фокус.
Перейдём к полярной системе координат (для удобства анализа).
.
.
окружность.
растёт.
R
уменьшается.
Замкнутая периодическая фазовая траектория в неконсервативной нелинейной системе ДУ называется предельным циклом.
Если при t → ∞ все фазовые траектории, начинаясь как внутри так и вне замкнутой траектории, стремятся к этой траектории, то такой предельный цикл называется устойчивым. На Рис.31(а) показана фазовые траектория на плоскости (x,y) для двух начальных условий (t0), заданных внутри и вне предельного цикла. На графике хорошо видно, что при t→∞ обе траектории стремятся к предельному циклу. На Рис.31(b) показаны эти же траектории на плоскости (x,t), (y,t).
Если
фазовая траектория при
начинается внутри предельного цикла и
при
,
а при начальных условиях вне придельного
цикла для
,
то предельный цикл будет не устойчивый.
На Рис.31(c)
показаны фазовые траектории для этого
случая, а на Рис.31(d)
зависимость координат x
и y
от t.
Рис.31. Предельные циклы
a),b) – устойчивый
c),d) – не устойчивый
Полу устойчивый предельный цикл
Такой
предельный цикл бывает двух типов. Если
точка НУ находится внутри предельного
цикла, то при
,
а если НУ заданы вне предельного цикла,
то при
фазовая траектория стремится к предельному
циклу, как бы наматываясь на него.
Второй
случай. Если точка НУ находится внутри
предельного ИКла, то при
к предельному циклу из внутри, а если
НУ заданы вне предельного цикла, то при
и фазовая траектория уходит от предельного
цикла.
При анализе устойчивых предельных циклов можно сделать следующие выводы:
В системе устанавливаются не затухающие колебания.
Амплитуда и частота не зависят от НУ, а зависят только от параметров системы ДУ.
Впервые связал уравнения с предельными циклами и математические модели реальных динамических систем с незатухающими колебаниями советский учёный Андронов. Он назвал такие колебания – автоколебаниями.
В 20 – х годах, в связи с развитием электроники, начали активно исследовать такие системы.