Характеристические числа комплексные

Пример. Рассмотрим систему для n=2, и корни при этом ,

т.е. пара комплексных сопряжённых корней. Проведём (как и ранее) замену переменных и получим уравнение в собственном базисе

.

Тогда:

- действительная Жорданова форма матрицы А.

Отсюда: Разложим матричную экспоненту в ряд:

; ;

Сделаем замену переменных и найдём придел ряда.

.

Это фундаментальная матрица в собственном базисе, а решение запишется в следующем виде:

.

Решив матричное уравнение , получим решение в базисе исходных переменных. .

Подведём итог рассмотрения методов решения СДУ с постоянными коэффициентами и отображения интегральных кривых на фазовой плоскости для n=2.

3.5 Автономные системы и их фазовые портреты

Система ДУ называется автономной, если в неё явно не входят функции от независимой переменной (однородные системы).

.

Для системы второго порядка с постоянными коэффициентами имеем:

.

Систематизируем фазовые портреты для решений этих уравнений в зависимости от вида характеристических чисел.

На Рис.17. – 20 в левой части приводятся значения характеристических чисел на комплексной плоскости, а в правой – фазовые траектории в собственном базисе для этих λ. Значение t=0 показывает, из какой области начинается движение отображающей точки фазовой траектории для заданных начальных условиях.

На Рис.17а отображены характеристические числа действительные, разные, меньше 0 и соответствующие им фазовые траектории с особой точкой устойчивый узел.

На Рис.17b отображены характеристические числа действительные, разные, одно меньше 0, а второе равно 0 и соответствующие им фазовые траектории с особой точкой вырожденный устойчивый узел.

Рис.17. Фазовые портреты устойчивого и вырожденного

устойчивого узлов

Рис.18. Фазовые портреты с особой точкой типа «седло» и вырожденного не устойчивого узла

На Рис.18а отображены характеристические числа действительные, разные, разного знака и соответствующие им фазовые траектории с особой точкой седло.

На Рис.18b отображены характеристические числа действительные, разные, одно больше 0, а второе равно 0 и соответствующие им фазовые траектории с особой точкой вырожденный не устойчивый узел.

Рис.19. Фазовые портреты с особой точкой вырожденного

устойчивого узла и вырожденного не устойчивого узла

На Рис.19а отображены характеристические числа действительные, кратные, меньше 0 и соответствующие им фазовые траектории с особой точкой вырожденный устойчивый узел.

На Рис.19b отображены характеристические числа действительные, кратные, больше 0, и соответствующие им фазовые траектории с особой точкой вырожденный не устойчивый узел.

На Рис.20а отображена пара комплексных сопряжённых характеристических чисел, действительные части которых меньше 0 и соответствующие им фазовые траектории с особой точкой устойчивый фокус.

На Рис.20b отображена пара комплексных сопряжённых характеристических чисел, действительные части которых больше 0 и соответствующие им фазовые траектории с особой точкой не устойчивый фокус.

Рис.20. Фазовые портреты с особыми точками устойчивого и не устойчивого фокусов

Для линейных автономных систем ДУ всегда положение равновесия.

Фазовая траектория для устойчивого фокуса в расширенном пространстве (n+1) (добавлена не зависимая переменная) показана на рис.21.

Рис.21. Фазовая траектория в расширенном фазовом пространстве