Особые решения

Точка , в окрестности которой решение с Н.У. не существует или не единственное – особая точка. Решение, состоящее из особых точек – особое. Для его построения необходимо найти множество точек, в которых нарушается условие существования и единственности решения.

Пример 1.

Условие теоремы выполняется во всех точках.

Пример 2. f(x,y) – непрерывна.

При y=x может нарушаться условие единственности решения. Является ли эта функция решением? Подставим её в ДУ и получим следующий результат. Не решение.

Пример 3. y=x – решение. .

При y=x нарушается условие существования и единственности решения. Сделаем замену переменных. z=y-x. y=z+x.

Тогда решение будет: y=x – особое решение.

Рис. 8. Особые решения

Глава 2 дифференциальные уравнения порядка n

2.1 Основные понятия и определения

Уравнения этого типа обычно записывают в следующем виде:

(2.1)

где – переменные коэффициенты; – порядок старшей производной (она и определяет порядок уравнения); – зависимая переменная и все её производные только в первой степени (т.е. это линейное уравнение); – правая часть. Если она не равна нулю, то это неоднородное уравнение, а если – однородное.

Для случая , можно получить приведённое уравнение:

(2.2)

При изучении этого типа уравнений необходимо ответить на следующие вопросы: каковы свойства решений линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ); каким требованиям удовлетворяют функции, составляющие фундаментальную систему решений (ФСР)? Научиться определять структуры частного и общего решения уравнения (2.2); освоить методы построения общего решения для частного случая (2.2), когда все коэффициенты – константы.

Обычно используют более краткую запись для (2.2) на основе такого математического понятия, как оператор. Сам термин «оператор» обозначает «действие». И, используя несколько упрощённое определение, можно сказать, что оператор производит отображение функции в функцию. Например, если на подействовать дифференциальным оператором, то получим

.

Уравнение (2.2) можно записать в виде

(2.3)

где – дифференциальный оператор, которым подействовали на функцию .

Такой оператор обладает следующими свойствами:

,

,

– неоднородное уравнение,

– однородное.

Изложение общей теории линейных уравнений порядка начнём с однородных уравнений.

Запишем три замечательных свойства решений однородного уравнения (пока не обсуждая, как их получить). Эти свойства определяются свойствами линейного оператора L (2.3).

1. Если решение , то – тоже решение ( – константа): .

Напомним, что если некоторая функция является решением ЛДУ, то она обращает его в тождество.

2. Если и – решения ЛДУ, то – тоже решение.

,

т.к. и

3. Если – решения ЛДУ (т.е. ), то

– тоже решение ( – константы).

Последнее свойство обобщает два первых. При решении дифференциального уравнения необходимо найти все вещественные решения. Часто выгодно найти сначала некоторые комплексные решения.

Функция называется комплексной.

Здесь – вещественные функции от вещественной переменной; – мнимая единица.

Например, часто используются при решении ДУ комплексные функции следующего вида:

Введём понятие комплексного решения ЛДУ порядка .

Пусть – решение (2.2) и при этом , т.е. комплексная функция.

Так как – решение ДУ, то .

При этом

,

для и .

Таким образом, доказано, что действительные функции и тоже являются решениями ЛДУ.

Сформулируем определение и критерии такого важного для изучения решений ЛДУ понятия, как линейно зависимые и линейно независимые функции.

1. Функции линейно зависимы на интервале , если есть – постоянные коэффициенты, такие, что

при этом хотя бы один _i0. Если это тождество выполняется при _i=0 для всех , то – система линейно независимых функций.

Примеры линейно независимых функций: .

2. Если , –линейно зависимые функции на и имеют производные порядка (n-1), то на том же интервале определитель Вронского тождественно равен нулю.

Элементы матрицы, определитель которой называется вронскианом, получаются следующим образом: в первой строке записываются функций ; во второй  их первые производные ; в третьей – их вторые производные и т.д. до n-ой строки, которая получается из производных:

На основании вышеизложенного мы можем сформулировать следующее определение о необходимых и достаточных условиях линейной независимости решений ЛДУ порядка .

Если суть линейно независимые решения уравнения (2.2), все коэффициенты которого непрерывны на , то вронскиан этих решений не равен нулю ни в одной точке интервала .

Пример. Пусть функции , –решения уравнения второго порядка: , . Тогда

Два свойства вронскиана решений

_{1.Если вронскиан n решений ЛДУ равен 0 в одной точке} на (a,b), в которой все коэффициенты уравнения не прерывны, то он равен 0 во всех точках этого интервала.

2. Если вронскиан n решений ДУ не равен 0 в одной точке x=x на (a,b), в которой все коэффициенты уравнения не прерывны, то он не равен 0 во всех точках этого интервала.

Эти свойства получаются из формулы Остроградского - Лиувиля, выражающей вронскиан решений этого уравнения через коэффициенты при (n-1) производной:

Это решение ДУ первого порядка полученного при дифференцировании вронскиана.