2.6 Метод неопределённых коэффициентов
Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) является универсальным и позволяет найти частное решение для любых (правых частей неоднородных уравнений), но при этом приходится многократно выполнять процедуру интегрирования, которая далеко не всегда легко реализуема.
Рассматриваемый в этом разделе метод для некоторых видов правых частей неоднородных уравнений позволяет найти частное решение более простым способом. Пусть в уравнении
(2.17)
где
-
действительное число;
;
– константы.
Правая часть задана в виде полинома от (независимой переменной), умноженного на экспоненту. Возможен и частный случай .
Идея этого метода проста: вид частного решения задаётся в той же форме, что и правая часть , но коэффициенты в решении неизвестны и подлежат определению. Отсюда и название метода.
Сначала
рассмотрим случай, когда
(
=1;…;
),
т.е. ни один действительный корень
характеристического уравнения не равен
показателю экспоненты
в правой части.
Тогда частное решение можно записать в следующем виде:
(2.18)
где
– неизвестные
коэффициенты, которые необходимо найти.
Так как – решение неоднородного уравнения, то оно обращает его в тождество:
(2.19)
Вычислив
и подставив в левую часть
производных, сократим обе части уравнения
на
.
У нас слева и справа останутся полиномы,
коэффициенты одного из них
известны, а у другого после приведения
подобных получим их как функции от
.
Для выполнения равенства (2.19) необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа были равны. По этому условию и записывается система уравнений для неизвестных коэффициентов.
Пример. Построим общее решение методом неопределённых коэффициентов для дифференциального уравнения
,
,
.
Имеем
Тогда
есть общее решение соответствующего однородного уравнения (i).
Запишем частное решение в том же виде, что и правая часть:
Подставим
функции
,
,
в исходное уравнение:
Приведём подобные и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :
Тогда
=1,
=0,
=0
и
– частное решение неоднородного
уравнения:
– общее решение заданного неоднородного уравнения.
Рассмотрим
построение частного решения, когда
корней
равно
(показателю экспоненты в правой части).
Общая методика нахождения
при
этом остаётся неизменной, но решение
записывается в несколько ином виде:
(2.20)
Пример. Построим общее решение методом неопределённых коэффициентов для дифференциального уравнения
.
Для данного уравнения получим:
Пусть правая часть задана в виде:
где:
При
этом комплексное число
не является корнем характеристического
полинома, т.е. ни один комплексный корень
не равен
.
Здесь
и
параметры функций правой части уравнения.
Тогда, используя вышеизложенную методику,
найдём неизвестные коэффициенты в
частном решении
,
записанном в том же виде, что и правая
часть:
(2.21)
где
и
- полиномы степени
.
Заметим,
что решение записывается в виде (2.21),
даже если один из полиномов
или
равен нулю. Если полиномы
и
разного порядка, то
в (2.21) равно
из
и
.
Пример. Найдем общее решение уравнения
,
,
методом неопределённых коэффициентов. Для этого уравнения будем иметь:
В нашем случае =0 и 0.
Подставим найденную производную и функцию в исходное уравнение:
Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях:
Тогда
частное решение
и общее решение
запишутся в следующем виде:
В
случае если
комплексных
корней
,
частное решение
запишется в виде
(2.22)
а общая методика определения коэффициентов в и останется неизменной.
Пример. Построим общее решение уравнения
.
Для данного уравнения найдем:
Подставим и в исходное уравнение, и после приведения подобных составляющих получим
Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях:
.
Тогда:
Теперь запишем общее решение неоднородного уравнения:
