Глава 4 не линейные системы дифференциальных уравнений

4.1 Исследование качественной структуры

Фазового пространства в окрестности особых точек

Общий вид таких уравнений:

,

где (компоненты вектора ) нелинейные функции фазовых координат.

Такие системы не имеют, в общем случае, точного аналитического решения. Но есть методы, позволяющие на качественном уровне оценить поведение решений таких систем. Для детального исследования решений таких систем (например, задачи Коши) используют численные методы.

Будем исследовать систему второго порядка:

(4.1)

Условие равновесия – равенство 0 всех первых производных от фазовых координат. В нашем примере

,

где координаты точек равновесия. Введём обозначение:

Состояние равновесия, для которого , называется простым.

Если разложить в окрестности точек равновесия правые части (4.1) по степеням , то получим:

(4.2)

где члены ряда не ниже второго порядка. Систему (4.2) можно записать (перенеся начало координат в ) в следующем виде:

;

. (4.3)

Для получения качественной оценки поведения решения системы (4.1), достаточно исследовать решение линеаризованных уравнений (4.3) (без ) вблизи всех точек равновесия.

4.2 Возможный характер простых состояний равновесия

Характеристическое уравнение линеаризованной системы (4.3) будет:

.

1. . Корни действительные и одинаковых знаков: ;

- не устойчивый узел; - устойчивый узел

2. - седло.

3. - пара комплексных сопряжённых корней:

– фокус устойчивый;

– фокус не устойчивый.

Направления, в которых траектории стремятся к простым состояниям равновесия

Будем рассматривать случай .

Пусть ОМ – луч (полупрямая). Рис.22. Начало в точке О. M(t) – пересечение луча с траекторией L. Если OM при , стремится к предельному , говорят, что при траектория стремится к состоянию равновесия О в направлении (угол между положительным направлением оси абсцисс и лучом ). Если L стремится к положению равновесия, то существует предел отношений:

.

Рис.22. Направления, в которых траектории стремятся

к простым состояниям равновесия

Угловой коэффициент направления, в котором траектория может стремиться к простому состоянию равновесия

Состояние равновесия не центр. .

Запишем значение для линеаризованной системы.

Характеристический полином запишется в следующем виде:

имеет предел только тогда, когда имеет предел

.

Из линеаризованной системы, разделив второе уравнение на первое, получим

.

Заменим на . – уравнение луча.

.

Теперь запишем решение для последнего уравнения

.

.

–собственные числа линеаризованной системы.

.

Если b=0, , то один и направление одной оси совпадает с осью y.